Bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12

Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

\(y =  - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\)

 \(y = {{x - 5} \over {1 - x}}\)

Giải

*Xét hàm số: \(y =  - {x^3} +2{x^2} - x - 7\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& y = - 3{x^2} + 4x-1{\rm{ }} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow x = {1 \over 3},x = 1 \cr} \)

\(y’ > 0\) với \(x\in({1\over3};1)\)

\(y’ < 0\) với \(x \in ( - \infty ,{1 \over 3}) \cup (1, + \infty )\)

Vậy hàm số đồng biến trong \(({1 \over 3},1)\) và nghịch biến trong \(( - \infty ,{1 \over 3}) \cup (1, + \infty )\)

b) Xét hàm số:  \(y = {{x - 5} \over {1 - x}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \)

 \(y' = {{ - 4} \over {{{(1 - x)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)

Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \((-∞,1)\) và \((1, +∞)\).

Bài 2 trang 45 SGK Giải tích 12

Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y= {x^4}-2{x^2} + 2\)

Giải

Xét hàm số: \(y= {x^4}-2{x^2} + 2\)

Có đạo hàm là: \(y’ = 4x^3– 4x = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1\)

Đạo hàm cấp hai: \(y’’ = 12x^2 – 4\)

\(y’’(0) = -4 < 0 ⇒\) điểm cực đại \(x_{CĐ}=0\); \(y_{CĐ}=2\)

\(y’’(-1) = 8 > 0, y’’(1) = 8 > 0\)

\(⇒ \) các điểm cực tiểu \(x_{CT}=1\) và \(x_{CT}=-1\); \(y_{CT}= y_( \pm 1)=1\).

Bài 3 trang 45 SGK Giải tích 12

Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các đường tiệm cận của hàm số : 

\(y = {{2x + 3} \over {2 - x}}\)

Giải

- Cách tìm tiệm cận ngang:

Đường thẳng \(y=y_0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn 

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0} \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0} \cr} \)

- Cách tìm tiệm cận đứng:

Đường thẳng \(x=x_0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn 

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = + \infty \cr} \)

Áp dụng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  - \infty \) \(⇒ x = 2\) là đường tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2 + {3 \over x}} \over {{2 \over x} - 1}} =  - 2\) \(⇒\) Đồ thị có đường tiệm cận ngang \( y = -2\)

Bài 4 trang 45 SGK Giải tích 12

Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm \(y’\)

+ Tại các điểm đó đạo hàm \(y’\) bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm \(y’\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\) thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \(Ox\)

- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Giaibaitap.me