Bài 1 trang 18 sgk hình học 12

Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.1.23), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.

Giải

Là bài tập thủ công.

Bài 2 trang 18 sgk hình học 12

Cho hình lập phương \((H)\). Gọi \((H’)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của \((H)\). Tính tỉ số diện tích toàn phần của \((H)\) và \((H’)\).

Giải 

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng \(a\). Khi đó diện tích toàn phần của nó là: \(S_1 = 6. a^2\)

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là \(8\) lần diện tích tam giác đều \(MQE\) (hình vẽ)

Xét tam giác \(ACD’\), ta có \(M, Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AD’\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD’\), do đó \(MQ = {1 \over 2}C{\rm{D}}' = {1 \over 2}\sqrt 2a \) 

Ta có \({S_{AMQE}} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}\sqrt 2a } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {1 \over 8}{a^2}\sqrt 3 \) 

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \({S_2} = 8.{1 \over 8}.{a^2}\sqrt 3  = {a^2}\sqrt 3 \)

Do đó: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \)

Bài 3 trang 18 sgk hình học 12

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Giải

Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều \(BCD, ACD, ABD, ABC\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\):

Ta có: \({{M{\rm{D}}'} \over {MA}} = {{MA'} \over {M{\rm{D}}}} = {1 \over 3} \Rightarrow A'D'//A{\rm{D}}\) 

và \(A'D' = {1 \over 3}A{\rm{D}} = {a \over 3}\) 

Tương tự \(A'B' = B'C' = C'A' = B'D' = C'D' = {a \over 3}\) 

Vậy \(A’B’C’D’\) là tứ diện đều

Bài 4 trang 18 sgk hình học 12

Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\) 

Chứng minh rằng :

a) Các đoạn thẳng \(AF, BD\) và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) \(ABFD, AEFC\) và \(BCDE\) là những hình vuông.

Giải 

a) Do \(B, C, D, E\) cách đều \(A\) và \(F\) nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \(AF\)).

Tương tự, \(A, B, F, D\) đồng phẳng và \(A, C, F, E\) đồng phẳng

Gọi \(I\) là giao của \((AF)\) với \((BCDE)\). Khi đó \(B, I, D\) là những điểm chung của hai mặt phẳng \((BCDE)\) và \((ABFD)\) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \(E, I , C\) thẳng hàng.

Vậy \(AF, BD, CE\) đồng quy tại \(I\).

Vì \(BCDE\) là hình thoi nên \(EC\) vuông góc với \(BC\) và cắt \(BC\) tại \(I\) là trung điểm của mỗi đường. \(I\) là trung điểm của \(AF\) và \(AF\) vuông góc với \(BD\) và \(EC\), do đó các đoạn thẳng \(AF, BD\), và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

b) Do \(AI\) vuông góc \((BCDE)\) và \(AB = AC =AD = AE\) nên \(IB = IC= ID = IE\). Từ đó suy ra hình thoi \(BCDE\) là hình vuông. Tương tự \(ABFD, AEFC\) là những hình vuông.

Giaibaitap.me