Bài 2.7 trang 31 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(x + y > 3\)

B. \({x^2} + {y^2} \le 4\)

C. \(\left( {x - y} \right)\left( {3x + y} \right) \ge 1\)

D. \({y^3} - 2 \le 0\)

Phương pháp: 

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát:

\(ax + by \le c\)(\(ax + by \ge c\), \(ax + by < c\), \(ax + by > c\)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Lời giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát:  ax + by ≤ c (ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c) với a, b, c là các số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Khi đó trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án A có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 1 và c = 3.

Chọn A.

Bài 2.8 trang 31 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho bất phương trình 2x+y>3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

Lời giải:

2x + y > 3 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Mà bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.

Do đó bất phương trình đã cho có vô số nghiệm

Chọn C

Bài 2.9 trang 31 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 3\)?

Phương pháp:

- Kiểm tra đường thẳng x-y=3 là đường thẳng nào và loại trừ các đáp án không chính xác.

- Kiểm tra O có thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho hay không và chọn đáp án đúng.

Lời giải:

Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình x – y < 3:

- Vẽ đường thẳng d: x – y – 3 = 0;

- Vì 0 – 0 = 0 < 3 nên điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x – y < 3

Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ.

Chọn D.

Bài 2.10 trang 31 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\2y \ge 0\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {y^3} < 0\\x + y > 3\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 0\\{y^2} + 3 < 0\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l} - {x^3} + y < 4\\x + 2y < 1\end{array} \right.\)

Phương pháp:

Kiểm tra từng đáp án và chọn.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn, khi đó chỉ có đáp án A là thỏa mãn là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn A.

Bài 2.11 trang 32 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y <  - 3\\2y \ge  - 4\end{array} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. (0;0)

B. (-2;1)

C. (3;-1)

D. (-3;1)

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào, nếu điểm nào thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ.

Lời giải:

Ta có: cặp số (0;0), (-2;1), (3;-1) không thỏa mãn bất phương trình x – y < -3.

Còn cặp số (-3;1) thỏa mãn cả hai bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

Chọn D

Bài 2.12 trang 32 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{x + y}}{2} \ge \dfrac{{2x - y + 1}}{3}\) trên mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp:

Thu gọn bất phương trình về dạng tổng quát.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình:

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền).

Bước 2: Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức ax+b. Xác định c có bằng 0 hay không, nếu c = 0 thì ta lấy điểm A(-1;-1) để thay vào.

Nếu A thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm A đã lấy.

Lời giải:

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d: x – 5y = - 2.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 – 5.0 = 0 > - 2.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (kể cả đường thẳng d) không chứa gốc tọa độ (miền không bị gạch).

Bài 2.13 trang 32 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 1\\2x - y \ge 3\end{array} \right.\) trên mặt phẳng tọa độ

Phương pháp:

Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình \(x + y < 1\) và \(2x - y \ge 3\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(ax + by = c\)

Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng \(ax + by = c\) và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.

Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.

Lời giải: 

Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình x + y < 1 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 1.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 + 0 = 0 < 1.

Do đó miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (không kể đường thẳng d) chứa gốc tọa độ.

Xác định miền nghiệm D2 của bất phương trình 2x – y ≥ 3  được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d’: 2x – y = 3.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 2.0 – 0 = 0 < 3.

Do đó miền nghiệm D2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ (kể cả đường thẳng d’) và không chứa gốc tọa độ.

Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch trong hình vẽ.

Bài 2.14 trang 32 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\y \le 4\\x \le 5\\x + y \ge  - 1\end{array} \right.\) trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x - y\) với \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ trên.

Phương pháp: 

- Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình \(y - 2x \le 2\); \(y \le 4\); \(x \le 5\) và \(x + y \ge  - 1\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(ax + by = c\)

Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng \(ax + by = c\) và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.

Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x - y\)

Bước 1: Xác định các đỉnh của đa giác

Bước 2: Tính giá trị \(F\left( {x;y} \right) =  - x - y\) tại các đỉnh đó và kết luận.

Lời giải: 

Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình y – 2x ≤ 2 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d: -2x + y = 2.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính -2.0 + 0 = 0 < 2.

Do đó miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≤ 4 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = 4 chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm D3 của bất phương trình x ≤ 5 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x = 5 chứa gốc tọa độ.

Xác định miền nghiệm D4 của bất phương trình x + y ≥ - 1 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d’: x + y = -1.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 + 0 = 0 > -1.

Do đó miền nghiệm D4 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ chứa gốc tọa độ.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm là: A(-1;0), B(1;4), C(5;4), D(5;-6).

Tính giá trị biểu thức F(x;y) = - x – y tại các điểm A, B, C, D

F(-1;0) = -(-1) – 0 = 1;

F(1;4) = - 1 – 4 = -5;

F(5;4) = - 5 – 4 = -9;

F(5;-6) = - 5 – (-6) = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F là 1 tại (x;y) = (-1;0) hoặc (x;y) = (5;-6) và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là -9 tại (x;y) = (5;4)

Bài 2.15 trang 32 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Lời giải:

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng lần lượt là x, y (triệu đồng) (0 ≤ x, y ≤ 1 200).

Khi đó bác An đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp là 1 200 – x – y (triệu đồng)

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: x ≥ 3y hay x – 3y ≥ 0.Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có: 1 200 – x – y ≤ 200 hay x + y ≥ 1 000.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm

A(1 000;0), B(750;250), C(1 200;400), D(1 200;0).

Lợi nhuận bác An thu được là: F(x;y) = 7%x + 8%y + 12%(1200 – x – y) =  144 – 0,05x – 0,04y (triệu đồng)

Tính giá trị của F(x;y) tại các điểm A, B, C, D, ta được:

F(1 000;0) = 144 – 0,05.1 000 – 0,04.0 = 94;

F(750;250) = 144 – 0,05.750 – 0,04.250 = 96,5;

F(1 200;400) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.400 = 68;

F(1 200;0) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.0 = 84;

Suy ra hàm F(x;y) lớn nhất bằng 96,5 khi x = 750, y = 250.

Vậy bác An nên đầu tư 750 triệu vào trái phiếu chính phủ, 250 triệu vào trái phiếu ngân hàng và 1 200 - 750 - 250 = 200 triệu vào trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Bài 2.16 trang 32 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây.

Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Gợi ý. Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x, y) = x + 8y. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x, y) với x, y thoả mãn các điều kiện trong đề bài.

Phương pháp:

- Gọi x và y là số giây quảng cáo trên đài phát thanh và trên truyền hình. 

- Dựa vào số tiền dự chi tối đa, thời lượng lập hệ bất phương trình tương ứng. 

- Lập biểu thức F biểu diễn hiệu quả quảng cáo theo x và y. 

- Tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x;y) thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Lời giải:

 Gọi x và y là số giây quảng cáo trên đài phát thanh và trên truyền hình.

Khi đó \(x \ge 0;y \ge 0\)

160 triệu đồng=160000 (nghìn đồng)

Chi phí quảng cáo x giây trên đài phát thanh và y giây trên truyền hình là \(80x + 400y\)(nghìn đồng)

Vì công ty dự chi tối đa 160 triệu đồng nên ta có

\(80x + 400y \le 160000\)\( \Leftrightarrow x + 5y \le 2000\)

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây nên ta có: \(x \le 900\)

Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây nên ta có: \(y \le 360\)

Ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 0}\\
{y \ge 0}\\
{x + 5y \le 2000}\\
{x \le 900}\\
{y \le 360}
\end{array}} \right.\)

Xác định miền nghiệm là miền ngũ giác OABCD với:

A(900;0); B(900;220); C(200;360); D(0;360)

Hiệu quả quảng cáo là: \(F\left( {x;y} \right) = x + 8y\)

Ta có:

\(F\left( {0;0} \right) = 0\)

\(F\left( {900;0} \right) = 900 + 8.0 = 900\)

\(F\left( {900;220} \right) = 900 + 8.220 = 2660\)

\(F\left( {200;360} \right) = 3080\)

\(F\left( {0;360} \right) = 2880\)

Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên đài phát thanh là 200 giây và trên truyền hình là 360 giây thì hiệu quả nhất.

Giaibaitap.me