Trang chủ
Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết
Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Toán 10 Kết nối tri thức

CHƯƠNG III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Giải bài tập 3.12; 3.13; 3.14; 3.15; 3.16; 3.17 trang 44; 3.18; 3.19 trang 45 sách giáo khoa Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 - Bài tập cuối chương 3

Bài 3.12 trang 44 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {135^o}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) 

A. \(S = \frac{1}{2}ca\)

B. \(S = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}ac\)

C. \(S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}bc\)

D. \(S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}ca\)

b) 

A. \(R = \frac{a}{{\sin A}}\)

B. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}b\)

C. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\)

D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

c) 

A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\)

B. \(\frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\)

C. \(\sin B = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)

D. \({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.\)

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\)

Mà \(\widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow S = \frac{1}{2}ac.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.ac\)

Chọn D

b) Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

=> \(R = \frac{a}{{2\sin A}}\) => A sai.

 \(R = \frac{b}{{2\sin B}}=\frac{b}{{2\sin 135^o}}=\frac{{\sqrt 2 }}{2}b\) => B đúng.

C. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\) (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\) (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

Chọn B

c) Theo định lí cos, ta có:

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB = a2 + c2 – 2ac.cos1350.

Chọn D.

Bài 3.13 trang 44 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A. \(S = \frac{{abc}}{{4r}}\)

B. \(r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\)

C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A\)

D. \(S = r\,(a + b + c)\)

b) A. \(\sin A = \sin \,(B + C)\)

B. \(\cos A = \cos \,(B + C)\)

C. \(\;\cos A > 0\)

D. \(\sin A\,\, \le 0\)

Phương pháp:

a) Định lí cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A\)

 Công thức tính diện tích: \(S = pr = \frac{{abc}}{{4R}}\)

b) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

\(\sin x = \sin \left( {{{180}^o} - x} \right)\); \( - \cos x = \cos \left( {{{180}^o} - x} \right)\)

Lời giải:

a) Chọn đáp án B

A. \(S = \frac{{abc}}{{4r}}\)

Ta có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\). Mà \(r < R\)nên suy ra \(S = \frac{{abc}}{{4R}} < \frac{{abc}}{{4r}}\)

Vậy A sai.

B. \(r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\)

Ta có: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)

Mà\(p = \frac{{a + b + c}}{2}\;\; \Rightarrow r = \frac{S}{p}\; = \frac{S}{{\frac{{a + b + c}}{2}}} = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\;\)

Vậy B đúng

C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A\)

Sai vì theo định lí cos ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A\)

D. \(S = r\,(a + b + c)\)

Sai vì \(S = pr = r.\frac{{a + b + c}}{2}\)

b) Chọn đáp án A

A. \(\sin A = \sin \,(B + C)\)

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\ \Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\end{array}\)

Vậy A đúng.

B. \(\cos A = \cos \,(B + C)\)

Sai vì \(\cos \,(B + C) =  - \cos A\)(Do \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\))

C. \(\;\cos A > 0\)

Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu \({0^o} < \widehat A < {90^o}\) thì \(\cos A > 0\)

Nếu \({90^o} < \widehat A < {180^o}\) thì \(\cos A < 0\)

D. \(\sin A\,\, \le 0\)

Ta có \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A > 0\)

Mà \(b,c > 0\)

\( \Rightarrow \sin A > 0\)

Vậy D sai.

Bài 3.14 trang 44 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}\)

b) \(N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}.\cos {45^o}\)

c) \(P = 1 + {\tan ^2}{60^o}\)

d) \(Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.\)

Phương pháp:

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
Lời giải:
Bài 3.15 trang 44 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {60^o},\;\,\widehat C = {45^o},AC = 10\). Tính \(a,R,S,r\).
Phương pháp:
Định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Lời giải:

Theo định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\quad (*)\)

+) Ta có: \(\hat A = {180^o} - \left( {\hat B + \;\hat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}\)

\( \Rightarrow a = \frac{b}{{\sin B}}.\sin A = \frac{{10}}{{\sin {{60}^o}}}.\sin {75^o} \approx 11,154\)

+) \((*) \Rightarrow R = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{{10}}{{2\sin {{60}^o}}} = \frac{{10}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}.\)

+) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab.\sin {\mkern 1mu} \hat C\) \( \approx \frac{1}{2}.11,154.10.\sin {45^o}\)\( \approx 39,44\)

+) Lại có: \(R = \frac{c}{{2\sin C}}\)\( \Rightarrow c = 2.\frac{{10\sqrt 3 }}{3}.\sin {45^o} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3} \approx 8,165\)

\( \Rightarrow p = \frac{{a + b + c}}{2} \approx \frac{{11,154 + 10 + 8,165}}{2} \approx 14,66\)

\( \Rightarrow r = \frac{S}{p} \approx \frac{{39,44}}{{14,66}} \approx 2,7\).

Bài 3.16 trang 44 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)

b) \(M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2.MA.MB.\cos \widehat {AMB}\) và \(M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2.MA.MC.\cos \widehat {AMC}\)

c) \(M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\) (công thức đường trung tuyến).

Phương pháp:

a) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

\( - \cos x = \cos \left( {{{180}^o} - x} \right)\)

b) Định lí cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A\)cho tam giác tương ứng.

c) Suy ra từ b, lưu ý rằng: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \widehat {AMC} + \cos \widehat {AMB} = 0\\MB = MC = \frac{{BC}}{2}\end{array} \right.\)

Lời giải:

Bài 3.17 trang 44 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b2 + c2 > a2;

b) Nếu góc A tù thì b2 + c2 < a2;

c) Nếu góc A vuông thì b2 + c2 = a2.

Phương pháp:

a) Nếu góc A nhọn thì \(\cos A > 0\)

b) Nếu góc A tù thì \(\cos A < 0\)

c) Nếu góc A vuông thì \(\cos A = 0\)

Định lí cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A\)

Lời giải:

Xét ΔABC, có:

Theo định lí cos, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 ⇒ 2bccosA > 0 ⇒ - 2bccosA < 0

Do đó: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA < b2 + c2

Vậy b2 + c2 > a2

b) Nếu góc A tù thì cosA > 0 ⇒ 2bccosA < 0 ⇒ - 2bccosA > 0

Do đó: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA > b2 + c2

Vậy b2 + c2 < a2.

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 ⇒ 2bccosA = 0

Do đó: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA = b2 + c2

Vậy b2 + c2 = a2.

Bài 3.18 trang 45 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53km về hướng \(N{34^o}E\). Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông, đồng thời tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để gặp tàu B.

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?

Phương pháp:

a) Tìm hướng chuyển động của A, tức là tính góc \(\alpha  + {34^o}\)

Bước 1: Tính quãng đường BC, AC

Bước 2: Định lí sin: \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin B}}\)

=>  \(\sin \alpha \), từ đó suy ra hướng của tàu A.

b) Bước 1: Tính góc C

Bước 2: Áp dụng định lí sin  \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{c}{{\sin C}}\) để suy ra t (thời gian đi cho đến khi gặp nhau)

Lời giải:

a) Gọi thời gian tàu A gặp tàu B ở vị trí C là x (h) (x > 0).

Vì tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h đến C nên quãng đường BC là 30x (km).

Vì tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để đuổi kịp tàu B nên quãng đường AC là 50x (km).

Đặt 

Do tàu B ở vị trí cách tàu A về hướng N34°E và tàu B chạy về hướng đông nên tàu A chạy từ A theo hướng N(34 + α)°E.

Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có:.
Khi đó, 

⇔ α ≈ 30° hoặc α ≈ 150° (loại do tổng ba góc trong tam giác bằng 180°).

Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64°E để gặp tàu B.

b) Xét tam giác ABC, ta có:

Vậy sau khoảng 2 giờ chạy theo hướng N64°E thì tàu A gặp tàu B.

Bài 3.19 trang 45 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2 (Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, và cách gôn Nhà 18,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.