Bài 4.6 trang 54 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng:

a)  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BD} \)

Phương pháp: 

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \)

Lời giải: 

a) Ta có: 

b) Ta có: 

Bài 4.7 trang 54 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \). Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {CM} \).

Lời giải:

Ta có: \( \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  =  \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABMC là hình bình hành.

\( \Rightarrow  \overrightarrow {DC} =\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CM} \). 

\( \Rightarrow C\) là trung điểm DM.

Vậy M thuộc DC sao cho C là trung điểm DM.

Chú ý khi giải

+) Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

+) ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Bài 4.8 trang 54 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} .\)

Phương pháp:

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \)

Tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MP} \)

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét ΔABC, có:

AB² = AM² + BM² (định lí Py – ta – go)

⇒ AM² = AB² – BM²

Bài 4.9 trang 54 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Hình 4.19 biểu diễn hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động lên một vật, cho \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 3\;N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\;N.\) Tính độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \).

Phương pháp:

Để tìm tổng của hai vectơ chung gốc \(\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AD} \) ta dựng hình hình hành ABCD, khi đó:\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Lời giải:

Bài 4.10 trang 54 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không khổi và có độ lớn bàng nhau. Hai tàu luôn dược giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yêu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước.

Lời giải:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d1, d2 (H.4.17). Giả sử tàu 1 xuất phát từ A' ∈ d1 và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi $\overrightarrow{v_r}$ và $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B’, C’ là các điểm sao cho 

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là

Xét ΔA’B’C’, có:(hai góc so le trong)

Giả sử tàu 2 xuất phát từ A ∈ d1 và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B, C là các điểm sao cho 

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là

Xét ΔABC, có:

Vì độ dài hai quãng đường AN và A’M’ của tàu 2 và tàu 1 chênh nhau không đáng kể nên ta coi nó bằng nhau. Do đó vì vận tốc tàu 2 lớn hơn tàu 1 nên tàu 2 là tàu đi qua bờ bên kia trước. 

Giaibaitap.me