Bài 3.1 trang 37 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)$

b) ${\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}$

c) $\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}$

Phương pháp:

a) Bước 1: Đưa GTLG của các góc ${135^o},{150^o},{180^o}$ về GTLG của các góc ${45^o},{30^o},{0^o}$

$\cos {135^o} =  - \cos {45^o};\cos {180^o} =  - \cos {0^o}\\\tan {150^o} =  - \tan {30^o}$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

b) Bước 1: Đưa GTLG của các góc ${120^o},{135^o}$ về GTLG của các góc ${60^o},{45^o}$

$\cos {120^o} =  - \cos {60^o}, \cot {135^o} =  - \cot {45^o}$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1$

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;$

Lời giải:

a) Đặt  $A = \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\cos {135^o} =  - \cos {45^o};\cos {180^o} =  - \cos {0^o}\\\tan {150^o} =  - \tan {30^o}\end{array} \right.$

$\Rightarrow A = \left( {2\sin {{30}^o} - \cos {{45}^o} + 3\tan {{30}^o}} \right).\left( { - \cos {0^o} - \cot {{60}^o}} \right)$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow A = \left( {2.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A =  - \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right).\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow A =  - \frac{{2 - \sqrt 2  + 2\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow A =  - \frac{{\left( {2 - \sqrt 2  + 2\sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow A =  - \frac{{6 + 2\sqrt 3  - 3\sqrt 2  - \sqrt 6  + 6\sqrt 3  + 6}}{6}\\ \Leftrightarrow A =  - \frac{{12 + 8\sqrt 3  - 3\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{6}.\end{array}$

b) Đặt  $B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\cos {120^o} =  - \cos {60^o}\\\cot {135^o} =  - \cot {45^o}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}{120^o} = {\cos ^2}{60^o}\\{\cot ^2}{135^o} = {\cot ^2}{45^o}\end{array} \right.$

$\Rightarrow B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{60^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{45^o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow B = {1^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {1^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2}$

$\Leftrightarrow B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}.$

Bài 3.2 trang 37 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Đơn giản các biểu thức sau:

a) $\sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};$

b) $2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha  - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)$ với ${0^o} < \alpha  < {90^o}$.

Phương pháp:

Lời giải:

b) Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\quad ({0^o} < \alpha  < {90^o})$$\Rightarrow 2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha  - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)$ $= 2\sin \alpha .\cot \alpha  - \left( { - \cos \alpha } \right).\tan \alpha .\left( { - \cot \alpha } \right)$$= 2\sin \alpha .\cot \alpha  - \cos \alpha .\tan \alpha .\cot \alpha$

$= 2\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \cos \alpha .\left( {\tan \alpha .\cot \alpha } \right)$$= 2\cos \alpha  - \cos \alpha .1 = \cos \alpha .$

Bài 3.3 trang 37 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Chứng minh các hệ thức sau:

a) ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$.

b) $1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha  \ne {90^o})$

c) $1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha  < {180^o})$

Phương pháp:

a) Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc $\alpha$ bất kì.

Bước 2: Xác định $\sin \alpha ,\;\cos \alpha$( tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).

Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

b) Bước 1: Viết $\tan \alpha$ dưới dạng $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\;\;(\alpha  \ne {90^o})$, thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

c) Bước 1: Viết $\cot \alpha$ dưới dạng $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;$, thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

a) Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha$. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \cos \alpha \\y = \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha  = {x^2}\\{\sin ^2}\alpha  = {y^2}\end{array} \right.$(1)

Mà $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = ON\\\left| y \right| = OP = MN\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left| x \right|^2} = O{N^2}\\{y^2} = {\left| y \right|^2} = M{N^2}\end{array} \right.$(2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}$ (do $\Delta OMN$ vuông tại N)

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ (vì OM =1). (đpcm)

c) Ta có:  $\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\;\;({0^o} < \alpha  < {180^o})$

$\Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

Mà theo ý a) ta có ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ với mọi góc $\alpha$

$\Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ (đpcm)

Bài 3.4 trang 37 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Kết Nối Tri Thức:

Cho góc $\alpha \;\;({0^o} < \alpha  < {180^o})$ thỏa mãn $\tan \alpha  = 3$

Tính giá trị biểu thức: $P = \frac{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }}$

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu của P cho $\cos \alpha$.

Lời giải:

Giaibaitap.me