a) \( - 2x + y - 1 \le 0\)

b) \( - x + 2y > 0\)

c) \(x - 5y < 2\)

d) \( - 3x + y + 2 \le 0\)

e) \(3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3\)

Phương pháp: 

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B.\)

Bước 2: Xét điểm \(C \notin \Delta \), kiểm tra C có thuộc miền nghiệm hay không.

Bước 3: Vẽ hình và kết luận.

Trả lời: 

a) Vẽ đường thẳng \(\ a : - 2x + y - 1 = 0\) đi qua hai điểm \(A(0;1)\) và \(B\left( { - 1; - 1} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \ a \) và \( - 2.0 + 0 - 1 =  - 1 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(\ a \), chứa gốc tọa độ O

(miền tô màu trên hình)

b) Vẽ đường thẳng \(\ b : - x + 2y = 0\) đi qua hai điểm \(O(0;0)\) và \(B\left( {2;1} \right)\)

Xét điểm \(C(0;1).\) Ta thấy \(C \in \ b \) và \( - 0 + 2. =  2 > 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(\ b \), có chứa điểm C (0;1)

(miền tô màu trên hình)

c) Ta có : x – 5y < 2  ⇔ x – 5y –  2 < 0

Vẽ đường thẳng c: x - 5y -  2 = 0  đi qua hai điểm A(0; ) và B(2 ; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy \(O\notin \ c \) và  0 – 5.0 – 2  = - 2 < 0. 

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x – 5y –  2 < 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x – 5y –  2 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ c, có chứa gốc O

(là miền tô màu trong hình vẽ sau).

d) Vẽ đường thẳng d: -3x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; -2) và B(2/3; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy \(O\notin \ d \) và -3.0 + 0 + 2 = 2 >  0.

Suy ra (0 ; 0) không là nghiệm của bất phương trình -3x + y + 2 ≤ 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình -3x + y + 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, không chứa gốc O

(là miền tô màu trong hình vẽ sau).

e) 3(x – 1) + 4(y – 2 ) < 5x – 3.

⇔ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3

⇔ 3x – 3 + 4y – 8 – 5x + 3 < 0

⇔ - 2x + 4y – 8 < 0

. ⇔ - x + 2y – 4 < 0.

Vẽ đường thẳng e: - x + 2y – 4 = 0 đi qua hai điểm A(0; 2) và B(-4 ; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ;0). Ta thấy \(O\notin \ e \) và - 0 + 2. 0 - 4 = - 4 < 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình - x + 2y – 4 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình - x + 2y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ e, có chứa gốc O

(là miền tô màu trong hình vẽ sau).

Bài 2 trang 39 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Câu hỏi:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\x + 3y < 3\end{array} \right.\)

Phương pháp: 

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng một mặt phẳng Oxy

Trả lời: 

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ:

- Vẽ đường thẳng a : x -  2y = 0 đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A (2 ; 1).

Xét điểm B (0 ; 1). Ta có \(B\notin \ a \) và 0 – 2.1 = - 2 < 0.

Do đó (0 ; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình: x – 2y > 0

Miền nghiệm của bất phương trình x – 2y > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng a (không kể bờ a) và không chứa điểm B (0 ; 1).

- Vẽ đường thẳng b : x  + 3y = 3 đi qua hai điểm B(0 ; 1) và C (3 ; 0).

Xét điểm gốc tọa độ O (0 ; 0). Ta có \(O\notin \ b \) và 0 + 3.0 = 0 < 3.

Do đó (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình   x + 3y < 3.

Miền nghiệm của bất phương trình x + 3y < 3 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng b (không kể bờ b) và chứa điểm O (0 ; 0).

Ta có hình sau : 

Vậy, miền không tô màu (không bao gồm các đường thẳng a và b) là phần giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bài 3 trang 39 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Câu hỏi:

Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi kilôgam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi kilôgam sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.

Phương pháp: 

Gọi x, y lần lượt là số kilogam sản phẩm loại A, loại B mà công ty đó sản xuất.

Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

Trả lời: 

Gọi x, y lần lượt là số kilogam sản phẩm loại A, loại B mà công ty đó sản xuất.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

-          Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\)

-          Nguyên liệu loại I có số kilogam dự trữ là 8 kg nên \(2x + y \le 8\)

-          Nguyên liệu loại II có số kilogam dự trữ là 24 kg nên \(4x + 4y \le 24\)

-          Nguyên liệu loại III có số kilogam dự trữ là 8 kg nên \(x + 2y \le 8\)

Từ đó ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 8\\4x + 4y \le 24\\x + 2y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Với các đỉnh  \(O(0;0),A(0;4),\)\(B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}),\)\(C(4;0).\)

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có: \(F = 30x + 50y\)

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại \(O(0;0),\)\(F = 30.0 + 50.0 = 0\)

Tại \(A(0;4),\)\(F = 30.0 + 50.4 = 200\)

Tại \(B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}),\)\(F = 30.\frac{8}{3} + 50.\frac{8}{3} = \frac{{640}}{3}\)

Tại \(C(4;0):\)\(F = 30.4 + 50.0 = 120\)

F đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{640}}{3}\) tại \(B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}).\)

Vậy công ty đó nên sản xuất \(\frac{8}{3}kg\)sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất.

Bài 4 trang 39 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Câu hỏi:

Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại A chiếm 3 \({m^2}\) sàn, loại này có sức chứa 12 \({m^3}\) và có giá 7,5 triệu đồng; tủ loại B chiếm 6 \({m^2}\) sàn, loại này có sức chứa 18 \({m^3}\) và có giá 5 triệu. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là 60 \({m^2}\) mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.

Trả lời: 

Gọi x (chiếc) là số tủ loại A, y (chiếc) là số tủ loại B mà công ty cần mua.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Khi đó, x chiếc tủ loại A chiếm 3x m² sàn ; y chiếc tủ loại B chiếm 6y m² sàn.

Tổng mặt bằng hai loại tủ chiếm : 3x + 6y (m²)

Do công ty chỉ thu xếp được 60 m² mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ nên ta có bất phương trình : 3x + 6y ≤ 60 hay x + 2y ≤ 20.

Số tiền cần dùng để mua x chiếc tủ loại A là : 7,5x (triệu đồng) ; mua y chiếc tủ loại B cần số tiền là 5y (triệu đồng).

Tổng số tiền dùng mua hai loại tủ trên là : 7,5x + 5y (triệu đồng).

Do ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng nên ta có bất phương trình :

7,5x + 5y ≤ 60 hay 1,5x + y ≤ 12.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh).

Các đỉnh O(0 ; 0) ; A (0 ; 10) ; B(2 ; 9) ; C(8 ; 0).

Gọi F là thể tích đựng hồ sơ của công ty.

Ta có x chiếc tủ loại A sẽ có sức chứa 12x (m³) ; y chiếc tủ loại B có sức chứa 18y (m³).

Tổng sức chứa của hai loại tủ là : 12x + 18y (m³).

Do đó F = 12x + 18y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0) : F = 12.0 + 18.0 = 0 ;

Tại A (0 ; 10) : F= 12.0 + 18.10 = 180 ;

Tại B(2 ; 9) : F = 12.2 + 18.9= 186;

Tại C(8 ; 0): F = 12.8 + 18.0= 96.

F đạt giá trị lớn nhất là 186 tại B(2 ; 9).

Vậy để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất thì công ty cần mua 2 tủ loại A và 9 tủ loại B. 

Bài 5 trang 39 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Câu hỏi:

Một nông trại thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10 kg cà chua cùng với l kg hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại B cần 5 kg cà chua cùng với 0,25 kg hành tây và khi bán lãi được 150 nghìn đồng. Thăm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.

Trả lời: 

Gọi x (hũ) là số hũ tương cà loại A, y (hũ) là số hũ tương cà loại B.

Hiển nhiên ta có x ≥ 0, y ≥ 0 và x thuộc N

Để làm x hũ tương cà loại A cần 10x (kg) cà chua và x (kg) hành tây.

Để làm y hũ tương cà loại B cần 5y (kg) cà chua và 0,25y (kg) hành tây.

Khi đó tổng khối lượng cà chua cần dùng là : 10x + 5y (kg) ; tổng khối lượng hành tây cần dùng là x + 0,25y (kg).

Do nông trại chỉ thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây nên ta có các bất phương trình sau :

10x + 5y ≤ 180, tức là 2x + y ≤ 36.

 Và x + 0,25y  ≤ 15.

Mặt khác, số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B nên ta có bất phương trình x ≥ 3,5y.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta có hình sau:

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác OAB (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (14 ; 4) ; B(15 ; 0).

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị : nghìn đồng).

Số tiền lãi thu được từ x hũ tương cà loại A là: 200x (nghìn đồng).

Số tiền lãi thu được từ y hũ tương cà loại B là: 150y (nghìn đồng).

Tổng số tiền lãi là 200x + 150y (nghìn đồng). Tức là F = 200x + 150y.

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tam giác OAB :

Tại O (0 ; 0) : F = 200.0 + 150.0 = 0;

Tại A (14 ; 4) : F= 200. 14  + 150. 4  = 3 400 ;

Tại  B(15 ; 0): F = 200.15 + 150.0 = 3 000;

F đạt giá trị lớn nhất là 3 400  tại A (14 ; 4).

Vậy để nông trại có nhiều tiền lãi nhất thì nông trại phải sản xuất 14 hũ loại A và 4 hũ loại B.

Bài 6 trang 39 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Câu hỏi:

Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấnsản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày, máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Trả lời: 

Gọi x (tấn) là khối lượng sản phẩm X mà xưởng sản xuất ra trong một ngày; y(tấn) là khối lượng sản phẩm Y mà xưởng sản xuất ra trong một ngày.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6x (giờ) ; để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2y (giờ).

Tổng số giờ dùng máy A trong một ngày là 6x + 2y (giờ).

Do máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày nên ta có bất phương trình :

6x + 2y ≤ 12, hay 3x + y ≤ 6.

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần dùng máy B trong 2x (giờ) ; để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần dùng máy B trong 2y (giờ).

Tổng số giờ dùng máy B trong một ngày là 2x + 2y (giờ).

Do máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày nên ta có bất phương trình : 2x + 2y ≤ 8, hay x + y  ≤ 4.

Vậy ta có hệ bất phương trình :

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (2 ; 0) ; B(1 ; 3) ; C(0 ; 4).

Gọi F (triệu đồng) là số tiền lãi thu được.

Với x tấn sản phẩm X thì số tiền lãi là 10x (triệu đồng) ; với y tấn sản phẩm  Y thì số tiền lãi là 8y (triệu đồng).

Tổng số tiền lãi là 10x + 8y (triệu đồng).

Do đó F =10x + 8y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0): F = 10.0 + 8.0 = 0;

Tại A (2 ; 0): F= 10.2 + 8.0 = 20 ;

Tại  B(1 ; 3): F = 10.1 + 8.3 = 34;

Tại  C(0 ; 4): F = 10.0 + 8.4 = 32.

F đạt giá trị lớn nhất là 34 tại B(1 ; 3) 

Vậy để tổng số tiền lãi cao nhất thì xưởng phải sản xuất 1 tấn sản phẩm X và 3 tấn sản phẩm Y.

Giaibaitap.me