Bài 1 trang 130 sgk toán 8 tập 2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)\({a^2} - {b^2} - 4a + 4;\)                                       

b) \({x^2} + 2x - 3\)

c) \(4{x^2}{y^2} - {\left( {{x^2}{y^2}} \right)^2}\)                                     

d) \(2{a^3} - 54{b^3}\) .

Hướng dẫn làm bài:                

a) \({a^2} - {b^2} - 4a + 4 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 - {b^2}\)

= \({\left( {a - 2} \right)^2} - {b^2} = \left( {a - 2 + b} \right)\left( {a - 2 - b} \right)\)            

= \(\left( {a + b - 2} \right)\left( {a - b - 2} \right)\)               

b) \({x^2} + 2x - 3 = {x^2} + 2x + 1 - 4\)

=\({\left( {x + 1} \right)^2} - {2^2} = \left( {x + 1 + 2} \right)\left( {x + 1 - 2} \right)\)

=\(\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\)

c)  \(4{x^2}{y^2} - {\left( {{x^2}{y^2}} \right)^2} = {\left( {2xy} \right)^2} - {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}\)

= \(\left( {2xy - {x^2} - {y^2}} \right)\left( {2xy + {x^2} + {y^2}} \right)\)                     

=\( - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\)

=\( - {\left( {x - y} \right)^2}{\left( {x + y} \right)^2}\)

d) \(2{a^3} - 54{b^3} = 2\left( {{a^3} - 27{b^3}} \right)\)

=\(2\left[ {{a^3} - {{\left( {3b} \right)}^3}} \right] = 2\left( {a - 3b} \right)\left( {{a^2} + 3ab + 9{b^2}} \right)\).

Bài 2 trang 130 sgk toán 8 tập 2

a)Thực hiện phép chia:

(2x⁴ – 4x³ + 5x² + 2x – 3) : (2x² – 1).

b) Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của x.

Hướng dẫn làm bài:

Vậy \(2\left[ {{a^3} - {{\left( {3b} \right)}^3}} \right] = 2\left( {a - 3b} \right)\left( {2{x^4} - 4{x^4} + 5{x^2} + 2x - 3} \right):\left( {2{x^2} - 1} \right) = {x^2} - 2x + 3\left( {{a^2} + 3ab + 9{b^2}} \right)\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 2;1;2;5} \right\}\)

b) Thương tìm được có thể viết:

 \({x^2} - 2x + 3 = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2\)

= \({\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0\) với mọi x

Vậy thương tìm được luôn luôn dương với mọi giá trị của x.

Bài 3 trang 130 sgk toán 8 tập 2

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi hai số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 (a, b ∈ Z)

Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng :

\({\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} = \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b{\rm{ }} + 1} \right)\)

\( = \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4a\left( {a{\rm{ }} + 1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}4b\left( {b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\)    

Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên a(a+1) và b(b+1) chia hết cho 2.

Do đó 4a(a + 1) và 4b(b + 1) chia hết cho 8

4a(a + 1) – 4b(b + 1) chia hết cho 8.

Vậy \({\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\) chia hết cho 8.

Bài 4 trang 130 sgk toán 8 tập 2

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại \(x =  - {1 \over 3}\) :

 \(\left[ {{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]\left[ {1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right)} \right]\)

Hướng dẫn làm bài:

+Ngoặc vuông thứ nhất:

 \(\left[ {{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

\(= {{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\left[ {1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right)} \right]\)

\(={{{{\left( {x + 3} \right)}^2} + 6\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - {{\left( {x - 3} \right)}^2}} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

\(={{{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 + 6{x^2} - 54 - \left( {{x^3} - 9{x^2} + 27x - 27} \right)} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

\(={{24{x^2}} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

\(={{24{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\)

+Ngoặc vuông thứ hai:

 \(1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right) = 1:\left[ {{{24{x^2}} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right]\)

\(=1:\left( {{{24{x^2} - 12\left( {{x^2} - 9} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}}} \right)\)

\(=1:{{12{x^2} + 108} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}}\)

\(=1.{{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)} \over {12{x^2} + 108}}\)

\(={{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)} \over {12{x^2} + 108}}\)

\(={{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)} \over {12\left( {{x^2} + 9} \right)}}\)

\(={{{x^2} - 9} \over {12}}\)

Nên
  \(\left[ {{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]\left[ {1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right)} \right]\)

\(=\left[ {{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]{{24{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}.{{{x^2} - 9} \over {12}}\)

\(= {{2{x^2}} \over {{x^2} - 9}}\left[ {1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right)} \right]\)

Tại \(x =  - {1 \over 3}\) giá trị của biểu thức là:

\({{2{{\left( { - {1 \over 3}} \right)}^2}} \over {{{\left( { - {1 \over 3}} \right)}^2} - 9}} = {{2.{1 \over 9}} \over {{1 \over 9} - 9}} = {{{2 \over 9}} \over { - {{80} \over 9}}} =  - {1 \over {40}}\)

Bài 5 trang 131 sgk toán 8 tập 2

Chứng minh rằng:

 \({{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} = {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\)

Hướng dẫn làm bài:

Cách 1: Thực hiện phép cộng riêng từng vế:

VT: \(={{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + {b^2}\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} + {{{c^2}} \over {c + a}}\)

\(={{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\)

Tử bằng:

\(={a^2}\left( {bc + ab + {c^2} + ac} \right) + {b^2}\left( {ac + {a^2} + bc + ab} \right) + {a^2}\left( {ab + ac + {b^2} + bc} \right)\)

\(={a^2}bc + {a^3}b + {a^2}{c^2} + {a^3}c + a{b^2}c + {a^2}{b^2} + {b^3}c + a{b^3} + ab{c^3} + a{c^3} + {b^2}{c^2} + b{c^3}\)

\(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\left( 1 \right)\) (1)

VP: \(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right){{{b^2}\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right) + {a^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\left( 1 \right)\)

\(={b^2}\left( {bc + ab + {c^2} + ac} \right) + {c^2}\left( {ac + {a^2} + bc + ab} \right) + {a^2}\left( {ab + ac + {b^2} + bc} \right)\)

\(={b^3}c + a{b^3} + {b^2}{c^2} + a{b^2}c + a{c^3} + {a^2}{c^2} + b{c^3} + ab{c^2} + {a^3}b + {a^3}c + {a^2}{b^2} + {a^2}bc\)

\(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\) (2)

So sánh (1) và (2) ta suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được  chứng minh.

Cách 2: Xét hiệu hai vế

\({a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right){{{a^2}} \over {a + b}} - {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} - {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} - {{{a^2}} \over {c + a}}\)

\(={{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)} \over {a + b}} - {{\left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right)} \over {b + c}} + {{\left( {c + a} \right)\left( {c - a} \right)} \over {c + a}}\)

\(=a - b + b - c + c - a = 0\)

Vậy  \({{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} = {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\)

Nhận xét: Cách 2 nhanh gọn hơn cách 1.

Giaibaitap.me