Bài 1 trang 132 sgk toán 8 tập 2

Dựng hình thang ABCD (AB// CD), biết ba cạnh: AD = 2cm, CD = 4 cm, BC = 3cm và đường chéo AC = 5 cm.

Hướng dẫn làm bài:

Dựng đoạn thẳng CD = 4cm.

-Dựng hai đường tròn (C; 5cm) và (D; 2cm) cắt nhau tại A.

-Dựng đường tròn (C; 2 cm) và đường tròn (A, 4cm) cắt nhau tại B.

Đường thẳng AB kéo dài cắt đường tròn (C, 2cm) tại điểm B’ (ngoài điểm B đã kể trên).

Các tứ giác ABCD và AB’CD là những hình thang thỏa mãn đề bài.

Chứng minh: Vì B ∈(A, 4cm) nên AB = 4cm.

∆ABC = ∆DAC (AB = CD = 4 cm, AD = BC = 2cm, AC chung) do đó  là cặp góc so le trong ta có: AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD, AD = 2cm, CD = 4 cm, BC = 2 cm là hình thang thỏa mãn yêu cầu, AB’CD cũng là hình thang thỏa mãn yêu cầu vì AB’//CD, AD = 2cm, CD = 4 cm, CB’ = 2 cm).

Bài 2 trang 132 sgk toán 8 tập 2

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau ở O và tam giác ABO là tam giác đều. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OD và BC. Chứng minh rằng tam giác EFG là tam giác đều.

Hướng dẫn làm bài:

Tam giác ABO đều nên tam giác CDO cũng đều, suy ra OD = OC.

∆AOD = ∆BOC (c.g.c) =>AD = BC.

EF là đường trung bình của tam giác AOD nên:

 (1) \(EF = {1 \over 2}AD = {1 \over 2}BC\)   (1)

CF là đường trung tuyến của tam giác đều CDO nên CF ⊥ DO, nghĩa là .Trong tam giác vuông CFB, FG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

 (2) \(FG = {1 \over 2}BC\)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

 (3) \(EG = {1 \over 2}BC\)

Từ (1), (2), (3) suy ra EF = GF = EG nên tam giác EFG là tam giác đều.

Bài 3 trang 132 sgk toán 8 tập 2

Tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là:

a) Hình thoi?

b) Hình chữ nhật?

Hướng dẫn làm bài:

Ta có: CE ⊥ AB(gt)

KB ⊥ AB (gt)

Suy ra BK // CH        (1)

Tương tự BH // KC (2)

Từ (1) và (2) ta được :

Tứ giác BHCK là hình bình hành. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo BC và HK.

a) BHCK là hình thoi HM ⊥ BC

Vì HA ⊥ BC nên HM ⊥ BC  ⇔A, H, M thẳng hàng. Tam giác ABC cân tại A.

b) BHCK là hình chữ nhật  ⇔ BH ⊥ HC. Ta lại có BE ⊥ HC, CD ⊥ BH nên BH ⊥ HC ⇔ H, D, E  trùng nhau. Khi đó H, D, E cũng trùng với A. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông ở A.

Bài 4 trang 132 sgk toán 8 tập 2

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì để tứ giác MENK là:

a) Hình thoi?

b) Hình chữ nhật?

c) Hình vuông?

Hướng dẫn làm bài:

Tứ giác MBND là hình bình hành.

(MB// = ND)

Lại có MN // BC (vì MBCN là hình bình hành).

EK // CD (vì EK là đường trung bình của ∆CDM).

a) Để MENK là hình thoi thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo vuông góc. Tức là MN ⊥ EK.

Suy ra BC ⊥ CD.

Vậy ABCD phải là hình chữ nhật.

b) Để MENK là hình chữ nhật thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo bằng nhau. Tức là MN = EK.

Mà MN = BC, EK = \({1 \over 2}CD\)  suy ra:

BC = \({1 \over 2}\) CD.

c) Để MENK là hình vuông thì MENK phải vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Tức là hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật có:

BC = \({1 \over 2}DC\)

Bài 5 trang 133 sgk toán 8 tập 2

Trong tam giác ABC các đường trung tuyến AA’ và BB’ cắt nhau ở G. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng diện tích tam giác ABG bằng S.

Hướng dẫn làm bài:

Ta có: AC = 2AB’.

Nên S_ABC  = 2S_ABB’ (1)

Và \(BB' = {3 \over 2}BG\)

Nên \({S_{ABB'}} = {3 \over 2}{s_{ABG}}\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \({S_{ABC}} = 2.{3 \over 2}{S_{ABG}} = 3S\)

Giaibaitap.me