Bài 27 trang 22 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) \( \frac{2x-5}{x+5}\) = 3;                                  b) \( \frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}\)

c) \( \frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\);               d) \( \frac{5}{3x+2}\) = 2x - 1

Hướng dẫn giải:

a) ĐKXĐ: x # -5

\( \frac{2x-5}{x+5}\) = 3 ⇔ \( \frac{2x-5}{x+5}\) \( =\frac{3(x+5)}{x+5}\)

                ⇔ 2x - 5 = 3x + 15

                ⇔ 2x - 3x = 5 + 20

                ⇔ x          = -20 thoả ĐKXĐ

Vậy tập hợp nghiệm S = {-20}

b) ĐKXĐ: x # 0

 \( \frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}\) ⇔ \( \frac{2(x^{2}-6)}{2x}=\frac{2x^{2}+3x}{2x}\)

Suy ra: 2x² – 12 = 2x² + 3x ⇔ 3x = -12 ⇔ x = -4 thoả x # 0

Vậy tập hợp nghiệm S = {-4}.

c) ĐKXĐ: x # 3

\( \frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\) ⇔ x(x + 2) - 3(x + 2) = 0

                                    ⇔ (x - 3)(x + 2) = 0 mà x # 3

                                    ⇔ x + 2 = 0 

                                    ⇔ x = -2

Vậy tập hợp nghiệm S = {-2}

d) ĐKXĐ: x # \( -\frac{2}{3}\)

\( \frac{5}{3x+2}\) = 2x - 1 ⇔ \( \frac{5}{3x+2}\) \( =\frac{(2x -1)(3x+2)}{3x+2}\)

                       ⇔ 5 = (2x - 1)(3x + 2)

                       ⇔ 6x² – 3x + 4x – 2 – 5 = 0

                       ⇔ 6x² + x - 7 = 0

                       ⇔ 6x² - 6x + 7x - 7 = 0

                       ⇔ 6x(x - 1) + 7(x - 1) = 0

                       ⇔ (6x + 7)(x - 1)        = 0

                       ⇔ x = \( -\frac{7}{6}\) hoặc x = 1 thoả x # \( -\frac{2}{3}\)

Vậy tập nghiệm S = {1;\( -\frac{7}{6}\)}. 

Bài 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) \( \frac{2x-1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}\);                         b) \( \frac{5x}{2x+2}+1=-\frac{6}{x+1}\)

c) x +  \( \frac{1}{x}\) = x² + \( \frac{1}{x^{2}}\);                              d) \( \frac{x+3}{x+1}+\frac{x-2}{x}\) = 2.

Hướng dẫn giải:

 a) ĐKXĐ: x # 1

Khử mẫu ta được: 2x - 1 + x - 1 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 không thoả mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) ĐKXĐ: x # -1

Khử mẫu ta được: 5x + 2x + 2 = -12

                     ⇔  7x               = -14   

                     ⇔ x                  = -2

Vậy phương trình có nghiệm x = -2.

c) ĐKXĐ: x # 0.

Khử mẫu ta được: x³ + x = x⁴ + 1

                     ⇔ x⁴ - x³ -x + 1 = 0

                     ⇔ x³(x – 1) –(x – 1) = 0

                     ⇔ (x³ -1)(x - 1) = 0

                     ⇔ x³ -1 = 0 hoặc x - 1 = 0

1) x - 1 = 0 ⇔ x = 1

2) x³ -1 = 0 ⇔ (x - 1)(x² + x + 1) = 0

                 ⇔ x = 1 hoặc x² + x + 1 = 0 ⇔ \( (x+\frac{1}{2})^{2}\) = \( -\frac{3}{4}\) (vô lí)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

d) ĐKXĐ: x # 0 -1.

Khử mẫu ta được x(x + 3) + (x + 1)(x - 2) = 2x(x + 1)

                    ⇔ x² + 3x + x² – 2x + x – 2 = 2x² + 2x

                    ⇔ 2x² + 2x - 2 = 2x² + 2x

                    ⇔0x = 2

Phương trình 0x = 2 vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 29 trang 22 sgk toán 8 tập 2

Bạn Sơn giải phương trình \({{{x^2} - 5x} \over {x - 5}} = 5\left( 1 \right)\) như sau:

(1)   ⇔\({x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right)\)

⇔\({x^2} - 5x = 5x - 25\)

⇔\({x^2} - 10x + 25 = 0\)

⇔\({\left( {x - 5} \right)^2} = 0\)

⇔\(x = 5\)

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:

(1)    ⇔\({{x\left( {x - 5} \right)} \over {x - 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5\)

Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên.

Hướng dẫn làm bài:

+ Trong cách giải của bạn Sơn có ghi

(1) \({x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right)\)   ⇔ là sai vì x = 5 không là nghiệm của (1) hay ( 1) có ĐKXĐ :\(x \ne 5\) .

+ Trong cách giải của Hà có ghi

(1)    ⇔\({{x\left( {x - 5} \right)} \over {x - 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5\)

Sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ của phương trình mà lại rút gọn x – 5.

Tóm lại cả hai cách giải đều sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bài 30 trang 23 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) \({1 \over {x - 3}} + 3 = {{x - 3} \over {2 - x}}\)                               

b) \(2x - {{2{x^2}} \over {x + 3}} = {{4x} \over {x + 3}} + {2 \over 7}\)

c) \({{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}} = {4 \over {{x^2} - 1}}\)                           

d) \({{3x - 2} \over {x + 7}} = {{6x + 1} \over {2x - 3}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \({1 \over {x - 3}} + 3 = {{x - 3} \over {2 - x}}\)         ĐKXĐ:  \(x \ne 2\)           

Khử mẫu ta được: \(1 + 3\left( {x - 2} \right) =  - \left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow 1 + 3x - 6 =  - x + 3\)

⇔\(3x + x = 3 + 6 - 1\)

⇔4x = 8

⇔x = 2.

x = 2 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) \(2x - {{2{x^2}} \over {x + 3}} = {{4x} \over {x + 3}} + {2 \over 7}\)  ĐKXĐ:\(x \ne  - 3\)

Khử mẫu ta được:

\(14\left( {x + 3} \right) - 14{x^2}\)= \(28x + 2\left( {x + 3} \right)\)

\(\Leftrightarrow 14{x^2} + 42x - 14{x^2}= 28x + 2x + 6\)

⇔ \(42x - 30x = 6\)

⇔\(12x = 6\)

⇔\(x = {1 \over 2}\)

\(x = {1 \over 2}\) thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\)

c) \({{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}} = {4 \over {{x^2} - 1}}\)    ĐKXĐ:\(x \ne  \pm 1\)

Khử mẫu ta được: \({\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 4\)            

⇔\({x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 = 4\)

⇔\(4x = 4\)

⇔\(x = 1\)

x = 1 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

 d) \({{3x - 2} \over {x + 7}} = {{6x + 1} \over {2x - 3}}\) ĐKXĐ:\(x \ne  - 7\) và \( x \ne {3 \over 2}\)

Khử mẫu ta được: \(\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\)  

⇔\(6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7\)

⇔\( - 13x + 6 = 43x + 7\)       

⇔\( - 56x = 1\)

⇔\(x = {{ - 1} \over {56}}\)

\(x = {{ - 1} \over {56}}\) thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{ - 1} \over {56}}\) .

Bài 31 trang 23 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) \({1 \over {x - 1}} - {{3{x^2}} \over {{x^3} - 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\)

b) \({3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

c) \(1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}\)

d) \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

Giải:

a) \({1 \over {x - 1}} - {{3{x^2}} \over {{x^3} - 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\)

Ta có: \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

\(= \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\) cho nên x³ – 1 ≠ 0 khi x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1

Vậy ĐKXĐ:  x ≠ 1

Khử mẫu ta được:

\({x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = - {1 \over 4}} \cr} }\right.\)

x = 1 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - {1 \over 4}\)

b) \({3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3

Khử mẫu ta được:

\(3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1 \Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\)

\( \Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1\)

⇔ 4x = 12

⇔ x = 3

x = 3 không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) \(1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}\)

Ta có: \(8 + {x^3} = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\)

\( = \left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3} \right]\)

Do đó:  8 + x² ≠ 0 khi x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2

Suy ra ĐKXĐ: x ≠ -2

Khử mẫu ta được:

\({x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0\)

⇔ x(x + 2)(x – 1) = 0

⇔ x(x -1) = 0

⇔x = 0 hay x = 1

x = 0, x = 1 thỏa ĐKXĐ của phương trình.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0;1}.

d) \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

ĐKXĐ: \(x \ne 3,x \ne  - 3,x \ne  - {7 \over 2}\)

Khử mẫu ta được:

\(13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

⇔ x =3 hoặc x = -4

x = 3 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -4

Bài 32 trang 23 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) \({1 \over x} + 2 = \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\) ;                          

b) \({\left( {x + 1 + {1 \over x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - {1 \over x}} \right)^2}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \({1 \over x} + 2 = \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)     (1)

ĐKXĐ:\(x \ne 0\)

(1)  ⇔\(\left( {{1 \over x} + 2} \right) - \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {1 - {x^2} - 1} \right) = 0\)

⇔ \(\left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( { - {x^2}} \right) = 0\)

⇔\(\left[ {\matrix{{{1 \over x} + 2 = 0} \cr { - {x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{1 \over x} = - 2} \cr {{x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {1 \over 2}} \cr {x = 0} \cr} } \right.\)

b) \({\left( {x + 1 + {1 \over x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - {1 \over x}} \right)^2}\) (2)

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

(2)  ⇔\(\left[ {\matrix{{x + 1 + {1 \over x} = x - 1 - {1 \over x}} \cr {x + 1 + {1 \over x} = - \left( {x - 1 - {1 \over x}} \right)} \cr} } \right.\)

⇔\(\left[ {\matrix{{{2 \over x} = - 2} \cr {2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1} \cr {x = 0} \cr} } \right.} \right.\)

x=0 không thoả ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

Bài 33 trang 23 sgk toán 8 tập 2

Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2:

a) \({{3a - 1} \over {3a + 1}} + {{a - 3} \over {a + 3}}\)                           b) \({{10} \over 3} - {{3a - 1} \over {4a + 12}} - {{7a + 2} \over {6a + 18}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a)Ta có phương trình:\({{3a - 1} \over {3a + 1}} + {{a - 3} \over {a + 3}} = 2\); ĐKXĐ: \(a \ne  - {1 \over 3},a \ne  - 3\)      

Khử mẫu ta được :

\(\left( {3a - 1} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {a - 3} \right)\left( {3a + 1} \right) = 2\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)\)

⇔\(3{a^2} + 9a - a - 3 + 3{a^2} - 9a + a - 3 = 6{a^2} + 18a + 2a + 6\)

⇔\(6{a^2} - 6 = 6{a^2} + 20a + 6\)

⇔\(20a =  - 12\)

⇔\(a =  - {3 \over 5}\)

\(a =  - {3 \over 5}\) thỏa ĐKXĐ.

Vậy \(a =  - {3 \over 5}\)  thì biểu thức \({{3a - 1} \over {3a + 1}} + {{a - 3} \over {a + 3}}\) có giá trị bằng 2         

b)Ta có phương trình:\({{10} \over 3} - {{3a - 1} \over {4a + 12}} - {{7a + 2} \over {6a + 18}} = 2\)

ĐKXĐ:\(a \ne 3;MTC:12\left( {a + 3} \right)\)

Khử mẫu ta được:

 \(40\left( {a + 3} \right) - 3\left( {3a - 1} \right) - 2\left( {7a + 2} \right) = 24\left( {a + 3} \right)\)

⇔\(40a + 120 - 9a + 3 - 14a - 4 = 24a + 72\)

⇔\(17a + 119 = 24a + 72\)

⇔\( - 7a =  - 47\)

⇔\(a = {{47} \over 7}\)

\(a = {{47} \over 7}\) thỏa ĐKXĐ.

Vậy \(a = {{47} \over 7}\)  thì biểu thức \({{10} \over 3} - {{3a - 1} \over {4a + 12}} - {{7a + 2} \over {6a + 18}}\)  có giá trị bằng 2.

Giaibaitap.me