Bài 5 trang 90 - SGK Hình học 12

Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\) :

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : 3x + 5y - z - 2 = 0\) ;

b) d:  \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=2-t & \\ z=1+2t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + 3y + z = 0\) ;

c) d:  \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=1+2t & \\ z=2-3t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + y + z - 4 = 0\).

Giải:

a) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:

   \(3(12 + 4t) +5(9 + 3t) - (1 + t) = 0\)

   \( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3\).

Tức là \(d  ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)\).

Trong trường hợp này \(d\) cắt \((α)\) tại điểm \(M\).

b) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:

     \((1 + t) + 3.(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0\)

     \(⇔  0.t +9= 0\), phương trình vô nghiệm.

Chứng tỏ \(d\) và \((α)\) không cắt nhau hay \(d // (α)\).

c) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:

      \((1 + 1) + (1+ 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0\)

      \(⇔  0t + 0 = 0\)

phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ \(d ⊂ (α)\)

Bài 6 trang 90 - SGK Hình học 12

Tính khoảng cách giữa đường thẳng  \(∆\) : 

\(\Delta \left\{ \matrix{
x = - 3 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + 3t \hfill \cr 
z = - 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

với mặt phẳng \((α)\) : \(2x - 2y + z + 3 = 0\).

Giải:

Đường thẳng \(∆\) qua điểm \(M(-3 ; -1 ; -1)\) có vectơ chỉ phương  \(\overrightarrow u (2 ; 3 ; 2)\).

Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (2 ; -2 ; 1)\).

Ta có \(M ∉ (α)\) và \(\overrightarrow u .\overrightarrow n = 0\) nên \(∆ // (α)\).

Do vậy  \(d(∆,(α)) = d(M,(α))\) = \({{| - 6 + 2 - 1 + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\).

Bài 7 trang 91 - SGK Hình học 12

Cho điểm \(A(1 ; 0 ; 0)\) và đường thẳng \(∆\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).

a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(∆\).

b) Tìm tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(∆\).

Giải.

a) Đường thẳng \(∆\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)\). \(H ∈ ∆\) nên \(H(2 + t ; 1 + 2t ; t)\).

Điểm \(H ∈ ∆\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AH}\bot\)  \(\overrightarrow{u}\).

Ta có \(\overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)\) nên:

\(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\)  ⇔ \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}\) = 0.

                   ⇔ \(1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\)

                   ⇔ \(6t + 3 = 0   ⇔ t =  -\frac{1}{2}\).

                   ⇔ \(H\left (\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right )\).

b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(∆\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\)  thì \(H\) là trung điểm của \(AA'\); vì vậy tọa độ của \(H\) là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(A\) và \(A'\).

Gọi \(A'(x ; y ; z)\) ta có:

\(\frac{x+1}{2}=\frac{3}{2}  => x = 2; y = 0; z = -1\).

Vậy \(A'(2 ; 0 ; -1)\)

Giaibaitap.me