Bài 5 trang 80 - SGK Hình học 12

Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6)\).

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\)

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).

Giải:

a) Mặt phẳng \((ADC)\) đi qua \(A(5 ; 1 ; 3)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)\).

Vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ] = (-2 ; -1 ; -1)\) vuông góc với mặt phẳng \((ACD)\).

Phương trình \((ACD)\) có dạng:

\(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\).

hay \(2x + y + z - 14 = 0\).

Tương tự: Mặt phẳng \((BCD)\) qua điểm \(B(1 ; 6 ; 2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)\) và

\(\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )\)

      \(= (-12 ; -10 ; -6)\)

Xét  \(\overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)\) thì \(\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}\) nên \(\overrightarrow{m_{1}}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCD)\). Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng:

       \(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\)

hay  \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\).

b) Mặt phẳng \(( α )\) qua cạnh \(AB\) và song song với \(CD\) thì \(( α )\) qua \(A\) và nhận

 \(\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; 1)\) , \(\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương.

Vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] = (10 ; 9 ; 5)\) là vectơ pháp tuyến của \(( α )\).

Phương trình mặt phẳng \(( α )\) có dạng : \(10x + 9y + 5z - 74 = 0\).

Bài 6 trang 80 - SGK Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(M(2 ; -1 ; 2)\) và song song với mặt phẳng    

\(( β)\) có phương trình: \(2x - y + 3z + 4 = 0\).

Giải:

Vectơ \(\overrightarrow{n}(2 ; -1 ; 3)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((β)\) .

Vì \((α)  // ( β)\) nên \(\overrightarrow{n}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((α)\) .

Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng:

             \(2(x - 2) - (y + 1) + 3(z - 2) = 0\)

     hay  \(2x - y + 3z -11 = 0\).

Bài 7 trang 80 - SGK Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng \(( α)\) đi qua hai điểm \(A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng: \(2x - y + z - 7 = 0\). 

Giải:

Xét \(\overrightarrow{n} = (2 ; 2 ; 1) \bot (β)\). Do mặt phẳng \(( α) ⊥ (β)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ song song hay nằm trên  \(( α)\). Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có giá nằm trên \(( α)\).

Vì \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{AB}\) không cùng phương nên \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{n},\overrightarrow{AB} \right ]= (4 ; 0 ; -8)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(( α)\). Mặt phẳng \(( α)\) qua \(A(1 ; 0 ; 1)\) và vuông góc với \(\overrightarrow{m}\) có phương trình :

       \(4(x - 1) + 0.(y - 0) - 8(z - 1) = 0\).

 hay \(x - 2z + 1 = 0\).

Giaibaitap.me