Câu 4.37 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(3{x^2} + (3 + 2i\sqrt 2 )x - {{{{(1 + i)}^3}} \over {1 - i}} = i\sqrt 8 x\)

b) \({(1 - ix)^2} + (3 + 2i)x - 5 = 0\)

Hướng dẫn làm bài

a) \(3{x^2} + 3x + 2 = 0\)

\(\Rightarrow  {x_{1,2}} = {{ - 3 \pm i\sqrt {15} } \over 6}\)

b) \( - {x^2} + 3x - 4 = 0\)

\(\Rightarrow  {x_{1,2}} = {{3 \pm i\sqrt 7 } \over 2}\)

Câu 4.38 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm số phức z, biết:

a)  \(\bar z = {z^3}\)                                   b) \(|z| + z = 3 + 4i\)

Hướng dẫn làm bài

a) Ta có \(z\bar z = |z{|^2}\)   nên từ  \(\bar z = {z^3} \Rightarrow  |z{|^2} = {z^4}\)

Đặt  z  = a+ bi  , suy ra:

\({a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} - {b^2})i = {a^2} + {b^2}\)              (*)

Do đó, ta có:     \(4ab({a^2} - {b^2}) = 0\)                         (**)

Từ (**) suy ra các trường hợp sau:

+) a = b = 0 ⟹ z = 0

+) \(a = 0,b \ne 0\) :  Thay vào (*), ta có  \({b^4} = {b^2} \Rightarrow  b =  \pm 1 \Rightarrow  z =  \pm i\)

+) \(b = 0,a \ne 0\) : Tương tự, ta có    \(a =  \pm 1 \Rightarrow  z =  \pm 1 \)

+) \(a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow  {a^2} - {b^2} = 0 \Rightarrow  {a^2} = {b^2}\)  , thay vào  (*) , ta có:

2a²(2a² + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì \(a \ne 0\) )

b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i  suy ra

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow  b = 4\) và \(\sqrt {{a^2} + 16}  + a = 3\)

\( \Rightarrow  {a^2} + 16 = {(3 - a)^2} = 9 - 6a + {a^2}\)

\(\Rightarrow  6a =  - 7 \Rightarrow  a =  - {7 \over 6}\) 

Vậy  \(z =  - {7 \over 6} + 4i\)

Câu 4.39 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{{|z - 2i| = |z|} \cr {|z - i| = |z - 1|} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài

Đặt z = x + yi , ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {(y - 2)^2} = {x^2} + {y^2} \hfill \cr 
{x^2} + {(y - 1)^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow  \left\{ {\matrix{{y = 1} \cr {x = y} \cr} } \right. \Rightarrow  x = 1,y = 1\)

Vậy z = 1 + i.

Câu 4.40 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng tỏ rằng \({{z - 1} \over {z + 1}}\) là số thực khi và chỉ khi z là một số thực khác – 1.

Hướng dẫn làm bài

Hiển nhiên nếu \(z \in R,z \ne  - 1\)   thì  \({{z - 1} \over {z + 1}} \in R\)

Ngược lại, nếu \({{z - 1} \over {z + 1}} = a \in R\)  thì \(z - 1 = az + a\)  và  \(a \ne 1\)

Suy ra  \((1 - a)z = a + 1\Rightarrow  z = {{a + 1} \over {1 - a}} \in R\)  và hiển nhiên  \(z \ne  - 1\).

Giaibaitap.me