Bài 3.50 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng d: \({{x + 2} \over { - 1}} = {{y - 1} \over 4} = {{z - 1} \over { - 1}}\)

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a ( - 1;4; - 1)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MI} (1; - 2;0)\)  , chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {MI}  \wedge \overrightarrow a  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là:  \(2(x + 2)  +(y – 1) + 2(z – 1) = 0\)  hay \(2x + y + 2z  +1 = 0\)

Bài 3.51 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = - 2 - t} \cr {y = 1 + 4t} \cr {z = 1 - t} \cr} } \right.\) và song song với d₁: \({{x - 1} \over 1} = {{y - 1} \over 4} = {{z - 1} \over { - 3}}\)

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1;1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a ( - 1;4; - 1)\)

Đường thẳng d₁ đi qua N(1; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow b (1;4; - 3)\)

Ta có:  \(\overrightarrow {MN} (3;0;0);\overrightarrow a  \wedge \overrightarrow b  = ( - 8; - 4; - 8)\) nên \(\overrightarrow {MN} (\overrightarrow a  \wedge \overrightarrow b ) \ne 0\) , suy ra d và d₁ chéo nhau. Do đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) có vecto pháp tuyến bằng \(\overrightarrow a  \wedge \overrightarrow b \)

Phương trình của (P) là: \(–8(x + 2) – 4(y – 1) – 8(z – 1) = 0\) hay \(2x  +y + 2z + 1 = 0\)

Bài 3.52 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng (P) song song  và cách đều hai mặt phẳng

(P₁): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P₂): 2x + y + 2z  +5 = 0.

Hướng dẫn làm bài:

Ta có: \(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)

\(\Leftrightarrow  | 2x + y + 2z + 1| = |2x + y + 2z + 5|\)

\(\Leftrightarrow  2x  + y + 2z + 1 = –(2x + y + 2z + 5)\)

\(\Leftrightarrow  2x + y + 2z + 3 = 0\)

Từ đó suy ra phương trình của (P) là: \(2x + y + 2z + 3 = 0.\)

Bài 3.53 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai mặt phẳng:

(P₁): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P₂): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (P₁) và (P₂) là bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Ta có: \(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow  d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)

\(\Leftrightarrow {{|2x + y + 2z + 1|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{|4x - 2y - 4z + 7|} \over {\sqrt {16 + 4 + 16} }}\)

\(\Leftrightarrow  2|2x + y + 2z + 1| = |4x - 2y - 4z + 7|\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{4x + 2y + 4z + 2 = 4x - 2y - 4z + 7} \cr {4x + 2y + 4z + 2 = - (4x - 2y - 4z + 7)} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow  \left[ {\matrix{{4y + 8z - 5 = 0} \cr {8x + 9 = 0} \cr} } \right.\)

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng phải tìm là:  \(4y + 8z – 5 = 0\) hoặc \(8x + 9 = 0\)

Giaibaitap.me