Bài 3.54 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai đường thẳng d:  \(\left\{ {\matrix{{x = 6} \cr {y = - 2t} \cr {z = 7 + t} \cr} } \right.\) và  d₁: \(\left\{ {\matrix{{x = - 2 + t'} \cr {y = - 2} \cr {z = - 11 - t'} \cr} } \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (0; - 2;1)\). Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow b (1;0; - 1)\).

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc  chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t')\)

Ta có: \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a } \cr {\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {AB}.\overrightarrow b = 0} \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 2( - 2 + 2t) + ( - 18 - t - t') = 0} \cr { - 8 + t' - ( - 18 - t - t') = 0} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 5t - t' - 14 = 0} \cr {t + 2t' + 10 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{t = - 2} \cr {t' = - 4} \cr} } \right.\)

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 12; - 6; - 12)\) . Chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d₁là:

\(\eqalign{& \overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 2} \cr 0 \cr} } & {\matrix{1 \cr { - 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr { - 1} \cr} } & {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ - 2} \cr 0 \cr} } \cr} } \right|} \right) \cr & = \left( {2;1;2} \right) \cr} \)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó:

\(\eqalign{& \overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \left( {\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b } \right) \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr} } & {\matrix{1 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr 2 \cr} } & {\matrix{0 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 2 \cr} } & {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr} } \cr} } \right|} \right) = ( - 5;2;4) \cr} \)

Phương trình của (Q) là : \(–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0\) hay \(–5x + 2y + 4z + 2 = 0\)

Để tìm \({d_1} \cap (Q)\)   ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

\(–5(–2 + t’) + 2(–2)  +4(–11 – t’ ) + 2 = 0\)

\(\Rightarrow  t’ = 4\)

\(\Rightarrow {d_1} \cap (Q) = B( - 6; - 2; - 7)\)

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: \(\overrightarrow {{n_R}}  = ( - 1;4; - 1)\)

Phương trình của (R) là \( –x  + 4y – z – 5 = 0.\)

Suy ra  \(d \cap (R) = A(6;4;5)\)

Bài 3.55 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y  +3z + 1 = 0  và  (R): x – 2y – z + 8 = 0

Hướng dẫn làm bài:

Chọn:

\(\eqalign{& \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \wedge \overrightarrow {{n_R}} \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 1} \cr { - 2} \cr} } & {\matrix{3 \cr { - 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{3 \cr { - 1} \cr} } & {\matrix{2 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{2 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ - 1} \cr { - 2} \cr} } \cr} } \right|} \right) = \left( {7;5; - 3} \right) \cr} \)

Phương trình của (P) là: 

\(7(x – 1) + 5(y  +3) – 3(z – 2) = 0\)

Hay  \(7x + 5y – 3z  +14 = 0\)

Bài 3.56 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình tham số của đường thẳng d  đi qua hai điểm phân biệt M₀(x₀ ;y₀; z₀) và M₁(x₁, y₁, z₁)

Hướng dẫn làm bài

Đường thẳng d đi qua M₀ và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \)

Do đó phương trình tham số của d là:

 \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + ({x_1} - {x_0})t} \cr {y = {y_0} + ({y_1} - {y_0})t} \cr {z = {z_0} + ({z_1} - {z_0})t} \cr} } \right.\)

Bài 3.57 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và vuông góc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua M₀ và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} (A;B;C)\)

Do đó phương trình tham số của d là:  \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + At} \cr {y = {y_0} + Bt} \cr {z = {z_0} + Ct} \cr} } \right.\)

Giaibaitap.me