Bài 3.58 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau

(P) Ax + By + Cz + D = 0  và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Hướng dẫn làm bài:

Do (P) và (Q) cắt nhau nên \(\overrightarrow {{n_P}}  \wedge \overrightarrow {{n_Q}}  \ne \overrightarrow 0 \) . Đường thẳng d đi qua M₀và có vecto chỉ phương 

\(\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} = (\left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B'} \cr} } & {\matrix{C \cr {C'} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C'} \cr} } & {\matrix{A \cr {A'} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A'} \cr} } & {\matrix{B \cr {B'} \cr}} \cr} } \right|)\)

Do đó phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + \left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B'} \cr} } & {\matrix{C \cr {C'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {y = {y_0} + \left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C'} \cr} } & {\matrix{A \cr {A'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {z = {z_0} + \left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A'} \cr} } & {\matrix{B \cr {B'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr} } \right.\)

Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax + By + Cz + D = 0   và  (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0  với M₀ là điểm chung của (P) và (Q).

Bài 3.59 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và đường thẳng d:  \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 9} \cr} } \right.\)

Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (1;1;0)\). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow a  \wedge \overrightarrow {{n_P}}  = ( - 2;2;1)\)

Phương trình của (Q) là : -2x + 2y + z – 9 = 0

Khi đó: \(d' = (P) \cap (Q)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  \wedge \overrightarrow {{n_Q}}  = (6;3;6)\)

Chọn vecto chỉ phương của d’ là: \(\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (2;1;2)\)

Lấy một điểm thuộc \((P) \cap (Q)\), chẳng hạn  A(-3; 1; 1)

Khi đó, phương trình của d’ là:  \(\left\{ {\matrix{{x = - 3 + 2t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)

Bài 3.60 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = - 3 + 2t} \cr {y = 1 - t} \cr {z = - 1 + 4t} \cr} } \right.\)

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Hướng dẫn làm bài:

Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}}  = (2; - 1;4)\)

Xét điểm B(–3 + 2t; 1 – t ; –1 + 4t)  thì \(\overrightarrow {AB}  = (1 + 2t;3 - t; - 5 + 4t)\)

\(AB \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_d}}  = 0\)

\(\Leftrightarrow 2(1 + 2t) - (3 - t) + 4( - 5 + 4t) = 0 \Leftrightarrow  t = 1\)          

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = (3;2; - 1)\)

Vậy phương trình của  \(\Delta \) là: \({{x + 4} \over 3} = {{y + 2} \over 2} = {{z - 4} \over { - 1}}\)

Giaibaitap.me