Bài 3.63 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(1; 1; 1), $C({1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3})$

a) Viết phương trình tổng quát  của mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua O và vuông góc với OC.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(\beta )$ chứa AB và vuông góc với  $(\alpha )$.

Hướng dẫn làm bài:

a) Mặt phẳng  $(\alpha )$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {OC}  = ({1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3})$  hay $\overrightarrow n  = 3\overrightarrow {OC}  = (1;1;1)$

Phương trình mặt phẳng  $(\alpha )$ là x + y + z = 0.

b) Gọi $(\beta )$ là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng  $(\alpha )$ . Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên  là: $\overrightarrow {AB}  = (0;1;1)$  và $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (1;1;1)$

Suy ra $(\beta )$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\beta }}  = (0;1; - 1)$

Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ là  y – z = 0

Bài 3.64 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(\beta )$ : x + 3ky – z + 2 = 0  và $(\gamma )$ : kx – y + z + 1 = 0

Tìm k để giao tuyến của $(\beta )$ và $(\gamma )$ vuông góc với mặt phẳng

                $(\alpha )  : x – y – 2z + 5 = 0.$

Hướng dẫn làm bài:

Ta có $\overrightarrow {{n_\beta }}  = (1;3k; - 1)$   và $\overrightarrow {{n_\gamma }}  = (k; - 1;1)$ . Gọi ${d_k} = \beta  \cap \gamma$

Đường thẳng d_k vuông góc với giá của $\overrightarrow {{n_\beta }}$ và $\overrightarrow {{n_\gamma }}$ nên có vecto chỉ phương là: $\overrightarrow a  = \overrightarrow {{n_\beta }}  \wedge \overrightarrow {{n_\gamma }}  = (3k - 1; - k - 1; - 1 - 3{k^2})$

 Ta có:  ${d_k} \bot (\alpha ) \Leftrightarrow {{3k - 1} \over 1} = {{ - k - 1} \over { - 1}} = {{ - 1 - 3{k^2}} \over { - 2}} \Leftrightarrow  k = 1$.

Bài 3.65 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b)  với a > 0 và b> 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

Xác định tỉ số ${a \over b}$   để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Mặt phẳng (A’BD) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}  = \overrightarrow {BD}  \wedge \overrightarrow {BA'}  = (ab;ab;{a^2})$

Mặt phẳng (BDM) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}}  = \overrightarrow {BD}  \wedge \overrightarrow {BM}  = ({{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2})$

Ta có  $(BDM) \bot (A'BD) \Leftrightarrow  \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0$

$\Leftrightarrow  {{{a^2}{b^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 2} - {a^4} = 0$

$\Leftrightarrow  a = b \Leftrightarrow  {a \over b} = 1$

Giaibaitap.me