Bài 3.35 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau

a) \(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + 2t} \cr {z = 1 - t} \cr} } \right.\)   và  \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0

b)  d: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 - t} \cr {y = t} \cr {z = 2 + t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\)  : x + z + 5 = 0

c)\(d:\left\{ {\matrix{{x = 3 - t} \cr {y = 2 - t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)   và \((\alpha )\)  : x +y + z -6 = 0  

Hướng dẫn làm bài:

a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d  vào phương trình tổng quát của mặt phẳng  \((\alpha )\)  ta được:  t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0

⟺ 4t = 0 ⟺ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\)   tại M₀(0; 1; 1).

b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát  của \((\alpha )\)  ta được: (2 – t)  +(2 + t) + 5 = 0 ⟺ 0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với \((\alpha )\) 

c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\)  ta được:  (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⟺ 0t  = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong \((\alpha )\) .

Bài 3.36 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :{{x - 1} \over 2} = {y \over 2} = {z \over 1}\)

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M₀(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (2;2;1)\) .

Ta có \(\overrightarrow {{M_0}A}  = (0;0;1),\overrightarrow n  = \overrightarrow a  \wedge \overrightarrow {{M_0}A}  = (2; - 2;0)\) .

\(d(A,\Delta ) = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {4 + 4 + 0} } \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\) 

Vậy khoảng cách từ điểm A đến  \(\Delta \) là \({{2\sqrt 2 } \over 3}\).

Bài 3.37 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho đường thẳng  \(\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}\)   và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng  \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \)  và \((\alpha )\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (2;3;2)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; - 2;1)\)

       \(\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 4 - 6 + 2 = 0\)  (1)

Xét  điểm  M₀(-3; -1; -1)  thuộc \(\Delta \)  , ta thấy tọa độ M₀ không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\) . Vậy  \({M_0} \notin (\alpha )\)        (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra  \(\Delta //(\alpha )\)    

b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = {{|2.( - 3) - 2.( - 1) + ( - 1) + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\)

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \)  và mặt phẳng \((\alpha )\) là \({2 \over 3}\).

Bài 3.38 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) trong các trường hợp sau:

a)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = - 1 - t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)  và  \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = 2 - 3t'} \cr {y = 2 + 3t'} \cr {z = 3t'} \cr} } \right.\)

b)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.\)  và    \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = t'} \cr {y = 2 - 3t'} \cr {z = - 3t'} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là:   \(\overrightarrow a  = (1; - 1;0)\) và \(\overrightarrow a ' = ( - 1;1;1)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = ( - 1; - 1;0)\)

\((\alpha )\) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}}  = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng  x – 1 + y + 1=   hay x + y = 0

Ta có:  M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta '\)

      \(d(\Delta ,\Delta ') = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)  

b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có phương trình là:

\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.\)     và \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = t'} \cr {y = 2 - 3t'} \cr {z = - 3t'} \cr} } \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta '\) .

Ta có \(d(\Delta ,\Delta ') = d(M',(\alpha )) = {{|5.(2) - 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và  \(\Delta '\)  là \({{12} \over {\sqrt {110} }}\).

Giaibaitap.me