Bài 3.31 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$  trong các trường hợp sau:

a)  $\Delta$ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow a  = (3;3;1)$ ;

b)  $\Delta$ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ :  2x – y + z + 9 = 0

c)  $\Delta$ đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow a  = (3;3;1)$  là: $\left\{ {\matrix{{x = 1 + 3t} \cr {y = 2 + 3t} \cr {z = 3 + t} \cr} } \right.$

Phương trình chính tắc của  $\Delta$ là ${{x - 1} \over 3} = {{y - 2} \over 3} = {{z - 3} \over 1}$

b) $\Delta  \bot (\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{a_\alpha }}  = (2; - 1;1)$

Phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = - t} \cr {z = - 1 + t} \cr} } \right.$

Phương trình chính tắc của $\Delta$ là ${{x - 1} \over 2} = {y \over { - 1}} = {{z + 1} \over 1}$

c) $\Delta$ đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương $\overrightarrow {CD}  = (1;2;3)$

Vậy phương trình tham số của  $\Delta$ là $\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = - 1 + 2t} \cr {z = 1 + 3t} \cr} } \right.$

Phương trình chính tắc của  $\Delta$ là  ${{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}$

Bài 3.32 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$: x  +2z = 0 và cắt hai đường kính  d₁: $\left\{ {\matrix{{x = 1 - t} \cr {y = t} \cr {z = 4t} \cr} } \right.$ và d₂:  $\left\{ {\matrix{{x = 2 - t'} \cr {y = 4 + 2t'} \cr {z = 4} \cr} } \right.$

Hướng dẫn làm bài

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với $(\alpha )$ . Đường thẳng  $\Delta$ cần tìm chính là đường thẳng AB.

Ta có: $A(1 - t;t;4t) \in {d_1}$

          $A \in (\alpha ) \Leftrightarrow  t + 4.(2t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$

Suy ra:  A(1; 0; 0)

Ta có : $B(2 - t';4 + 2t';4) \in {d_2}$

           $B \in (\alpha ) \Leftrightarrow 4 + 2t' + 8 = 0 \Leftrightarrow t' =  - 6$

Suy ra  B(8; -8; 4)

$\Delta$ đi qua A, B nên có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {AB}  = (7; - 8;4)$

Phương trình chính tắc của $\Delta$  là:  ${{x - 1} \over 7} = {y \over { - 8}} = {z \over 4}$

Bài 3.33 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a)  $d:{{x + 1} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 3} \over 3}$ và $d':{{x - 1} \over 3} = {{y - 5} \over 2} = {{z - 4} \over 2}$

b)$d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 2 - t} \cr} } \right.$  và $d':\left\{ {\matrix{{x = 9 + 2t'} \cr {y = 8 + 2t'} \cr {z = 10 - 2t'} \cr} } \right.$

c) $d:\left\{ {\matrix{{x = - t} \cr {y = 3t} \cr {z = - 1 - 2t} \cr} } \right.$  và $d':\left\{ {\matrix{{x = 0} \cr {y = 9} \cr {z = 5t'} \cr} } \right.$

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  $\overrightarrow {{a_d}}  = (1;2;3)$ và $\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (3;2;2)$

Suy ra $\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d'}}}  = ( - 2;7; - 4)$

Ta có ${M_0}( - 1;1; - 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d' \Rightarrow  }}\overrightarrow {{M_0}{M_0}'}  = (2;4;6)$

Ta có $\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}'}  =  - 4 + 28 - 24 = 0$ . Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau.

b) Ta có $\overrightarrow {{a_d}}  = (1;1; - 1)$  và $\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (2;2; - 2).{M_0}(0;1;2) \in d$

Vì $\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {{a_{d'}}} = 2\overrightarrow {{a_d}} } \cr {{M_0} \notin d'} \cr} } \right.$  (tọa độ M₀ không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.

c) d có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{a_d}}  = ( - 1;3; - 2)$

d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (0;0;5)$

Gọi $\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d'}}}  = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0$

Ta có ${M_0}(0;0; - 1) \in d$

$M{'_0}(0;9;0) \in d' \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{'_0}}  = (0;9;1),\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{'_0}}  = 45 \ne 0$

Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.

Bài 3.34 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

$d:\left\{ {\matrix{{x = 5 + t} \cr {y = at} \cr {z = 2 - t} \cr} } \right.$  và  $d':\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t'} \cr {y = a + 4t'} \cr {z = 2 - 2t'} \cr} } \right.$

Hướng dẫn làm bài:

Ta có $\overrightarrow {{a_d}}  = (1;a; - 1)$ và $\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (2;4; - 2)$

    $d//d' \Rightarrow {1 \over 2} = {a \over 4} = {{ - 1} \over { - 2}} \Rightarrow  a = 2$       

Khi đó $M{'_0}(1;2;2)$ thuộc d’ và M’₀không thuộc d. Vậy d // d’ ⟺ a = 2.

Giaibaitap.me