Bài 3.31 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)  trong các trường hợp sau:

a)  \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (3;3;1)\) ;

b)  \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) :  2x – y + z + 9 = 0

c)  \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (3;3;1)\)  là: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 3t} \cr {y = 2 + 3t} \cr {z = 3 + t} \cr} } \right.\)

Phương trình chính tắc của  \(\Delta \) là \({{x - 1} \over 3} = {{y - 2} \over 3} = {{z - 3} \over 1}\)

b) \(\Delta  \bot (\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{a_\alpha }}  = (2; - 1;1)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = - t} \cr {z = - 1 + t} \cr} } \right.\)

Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là \({{x - 1} \over 2} = {y \over { - 1}} = {{z + 1} \over 1}\)

c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {CD}  = (1;2;3)\)

Vậy phương trình tham số của  \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = - 1 + 2t} \cr {z = 1 + 3t} \cr} } \right.\)

Phương trình chính tắc của  \(\Delta \) là  \({{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\)

Bài 3.32 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\): x  +2z = 0 và cắt hai đường kính  d₁: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 - t} \cr {y = t} \cr {z = 4t} \cr} } \right.\) và d₂:  \(\left\{ {\matrix{{x = 2 - t'} \cr {y = 4 + 2t'} \cr {z = 4} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với \((\alpha )\) . Đường thẳng  \(\Delta \) cần tìm chính là đường thẳng AB.

Ta có: \(A(1 - t;t;4t) \in {d_1}\)

          \(A \in (\alpha ) \Leftrightarrow  t + 4.(2t) = 0 \Leftrightarrow t = 0\)

Suy ra:  A(1; 0; 0)

Ta có : \(B(2 - t';4 + 2t';4) \in {d_2}\)

           \(B \in (\alpha ) \Leftrightarrow 4 + 2t' + 8 = 0 \Leftrightarrow t' =  - 6\)

Suy ra  B(8; -8; 4)

\(\Delta \) đi qua A, B nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {AB}  = (7; - 8;4)\)

Phương trình chính tắc của \(\Delta \)  là:  \({{x - 1} \over 7} = {y \over { - 8}} = {z \over 4}\)

Bài 3.33 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a)  \(d:{{x + 1} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 3} \over 3}\) và \(d':{{x - 1} \over 3} = {{y - 5} \over 2} = {{z - 4} \over 2}\)

b)\(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 2 - t} \cr} } \right.\)  và \(d':\left\{ {\matrix{{x = 9 + 2t'} \cr {y = 8 + 2t'} \cr {z = 10 - 2t'} \cr} } \right.\)

c) \(d:\left\{ {\matrix{{x = - t} \cr {y = 3t} \cr {z = - 1 - 2t} \cr} } \right.\)  và \(d':\left\{ {\matrix{{x = 0} \cr {y = 9} \cr {z = 5t'} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1;2;3)\) và \(\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (3;2;2)\)

Suy ra \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d'}}}  = ( - 2;7; - 4)\)

Ta có \({M_0}( - 1;1; - 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d' \Rightarrow  }}\overrightarrow {{M_0}{M_0}'}  = (2;4;6)\)

Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}'}  =  - 4 + 28 - 24 = 0\) . Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau.

b) Ta có \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1;1; - 1)\)  và \(\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (2;2; - 2).{M_0}(0;1;2) \in d\)

Vì \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {{a_{d'}}} = 2\overrightarrow {{a_d}} } \cr {{M_0} \notin d'} \cr} } \right.\)  (tọa độ M₀ không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.

c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}}  = ( - 1;3; - 2)\)

d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (0;0;5)\)

Gọi \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d'}}}  = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0 \)

Ta có \({M_0}(0;0; - 1) \in d\)

\(M{'_0}(0;9;0) \in d' \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{'_0}}  = (0;9;1),\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{'_0}}  = 45 \ne 0\)

Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.

Bài 3.34 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

\(d:\left\{ {\matrix{{x = 5 + t} \cr {y = at} \cr {z = 2 - t} \cr} } \right.\)  và  \(d':\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t'} \cr {y = a + 4t'} \cr {z = 2 - 2t'} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài:

Ta có \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1;a; - 1)\) và \(\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (2;4; - 2)\)

    \(d//d' \Rightarrow {1 \over 2} = {a \over 4} = {{ - 1} \over { - 2}} \Rightarrow  a = 2\)       

Khi đó \(M{'_0}(1;2;2)\) thuộc d’ và M’₀không thuộc d. Vậy d // d’ ⟺ a = 2.

Giaibaitap.me