Câu 3.30 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính diện tich các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(y = x - 1 + {{\ln x} \over x},y = x - 1\)  và x = e;

b) y = x³ – x²   và \(y = {1 \over 9}(x - 1)\);

c) \(y = 1 - \sqrt {1 - {x^2}} \)  và y = x²

Hướng dẫn làm bài

a) \({1 \over 2}\)

b) \({8 \over {81}}\) . HD: Đường thẳng \(y = {1 \over 9}(x - 1)\) đi qua tâm đối xứng \(I({1 \over 3}; - {2 \over {27}})\) của hàm số y = x³ – x² .

Do đó, hình phẳng giới hạn bởi hai đường đã cho gồm hai hình vẽ đối xứng nhau qua điểm I (hình 85).

Vậy :  \(S = 2\int\limits_{ - {1 \over 3}}^{{1 \over 3}} {{\rm{[}}({x^3} - {x^2}) - {1 \over 9}(x - 1){\rm{]}}dx}\)

\( = 4\int\limits_0^{{1 \over 3}} {({1 \over 9} - {x^2})dx = {8 \over {81}}} \)

(theo bài 3.14. \(\int\limits_{ - {1 \over 3}}^{{1 \over 3}} {({x^3} - {1 \over 9}x)dx = 0} \))

c) \({\pi  \over 2} - {4 \over 3}\)

Câu 3.31 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi

a) \(y = {x^{{2 \over 3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(y = {x^{{2 \over 3}}}\) tại điểm có hoành độ x = 1, quanh trục Oy;

b) \(y = {1 \over x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục Ox

c) y = |2x – x²|, y = 0 và x = 3 , quanh :

                               * Trục Ox

                               * Trục Oy

Hướng dẫn làm bài

a) \({\pi  \over {36}}\) .

Phương trình tiếp tuyến là:  \(y = {2 \over 3}x + {1 \over 3}\)

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy} - \pi \int\limits_{{1 \over 3}}^1 {{{({3 \over 2}y - {1 \over 2})}^2}dy}\)

\(= {\pi \over 4} - {{2\pi } \over 9}{({3 \over 2}y - {1 \over 2})^3}\left| {\matrix{1 \cr {{1 \over 3}} \cr} = {\pi \over {36}}} \right.\)

b) \(\pi ({5 \over 3} - 2\ln 2)\)

c) \({V_x} = {{18} \over 5}\pi \)  và  \({V_y} = {{59} \over 6}\pi \)

\({V_y} = \pi {\rm{\{ }}\int\limits_0^1 {{\rm{[(}}1 + \sqrt {1 - y} {)^2} - {{(1 - \sqrt {1 - y} )}^2}{\rm{]}}} dy + \int\limits_0^3 {{\rm{[}}9 - {{(1 + \sqrt {1 + y} )}^2}{\rm{]}}dy\} } \)

\( = \pi {\rm{[}}\int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} dy + \int\limits_0^3 {(7 - y - 2\sqrt {1 + y} )dy] = {{59\pi } \over 6}} } \)

Câu 3.32 trang 187 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

 Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:

a) \((\int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} } dx;m,n \in {N^*}\)

b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}} \over {{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \)

c) \(\int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt\)

Hướng dẫn làm bài

a) Đúng

b) Ta có:   \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}}  = \int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}}  + \int\limits_0^{ - 1} {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} \)               (*)

Dùng phương pháp đổi biến  t = - x đối với tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} \) , ta được:

                  \(\int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{{{x^2}dx} \over {{e^{ - x}} + 1}} = \int\limits_0^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^{ - t}} + 1}}} } \)

Thay vào (*) ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}} = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} } \)

c) Sai.

Giaibaitap.me