Câu 3.27 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau:

a) \(\int {(2x - 3)\sqrt {x - 3} dx} \) , đặt \(u = \sqrt {x - 3} \)                           

b) \(\int {{x \over {{{(1 + {x^2})}^{{3 \over 2}}}}}} dx\) , đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \)

c) \(\int {{{{e^x}} \over {{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\) , đặt \(u = {e^{2x}} + 1\)                                      

d) \(\int {{1 \over {\sin x - \sin a}}} dx\)

e) \(\int {\sqrt x \sin \sqrt x } dx\) , đặt \(t = \sqrt x \)                                     

g)\(\int {x\ln {x \over {1 + x}}} dx\)

Hướng dẫn làm bài

a)   \({2 \over 5}{(x - 3)^{{3 \over 2}}}(2x - 1) + C\)                                       

 b)\( - {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\)

c)  \({1 \over 2}\ln ({e^{2x}} + 1) + C\)                                                 

d) \({1 \over {\cos a}}\ln |{{\sin {{x - a} \over 2}} \over {\cos {{x - a} \over 2}}}| + C\) . HD: Ta có:\(\cos a = \cos ({{x - a} \over 2} - {{x + a} \over 2})\)

e) \( - 2x\cos \sqrt x  + 4\sqrt x \sin \sqrt x  + 4\cos \sqrt x  + C\)

g) \({{{x^2}} \over 2}\ln {x \over {1 + x}} + {1 \over 2}\ln |1 + x| - {1 \over 2}x + C\)

Bài 3.28 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a)  \(\int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\), đặt \(t = \sqrt y \)                             

b) \(\int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\root 3 \of {{{(z - 1)}^2}} } dz\) , đặt    \(u = \root 3 \of {{{(z - 1)}^2}} \)

c) \(\int\limits_1^e {{{\sqrt {4 + 5\ln x} } \over x}} dx\)                                                 

d) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {({{\cos }^5}\varphi }  - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)

e)  \(\int\limits_0^\pi  {{{\cos }^3}\alpha \cos 3\alpha } d\alpha \)

Hướng dẫn làm bài

a)  \({{16} \over {105}}\)               

b) \(2{{49} \over {220}}\)                      

c) \({{38} \over {15}}\) .

HD: \(\int\limits_1^e {{{\sqrt {4 + 5\ln x} } \over x}} dx = {1 \over 5}\int\limits_1^e {{{(4 + 5\ln x)}^{{1 \over 2}}}d(4 + 5\ln x)} \)

d) 0                          

e)\({\pi  \over 8}\)  .

HD: Dùng công thức hạ bậc đối với \({\cos ^3}x\)

Câu 3.29 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)                                           

b) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}}} dx\)

c) \(\int\limits_0^1 {{{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \ln (x + 1)dx\)                                 

d) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} dx\)

Hướng dẫn làm bài

a) \({1 \over 4}(1 + {\pi  \over 4})\)  . HD: \({{1 + \cos 2x} \over 2} = {\cos ^2}x\)

b) \({1 \over 2}\ln {{(e - 1)(\sqrt e  + 1)} \over {(e + 1)(\sqrt e  - 1)}}\)  . HD:\({{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}} = {1 \over 2}({{{e^x}} \over {{e^x} - 1}} - {{{e^x}} \over {{e^x} + 1}})\)

c) \({1 \over 2}({\ln ^2}2 - \ln 2 + 1)\) . HD: \({{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1) = {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}} + {{\ln (x + 1)} \over {{{(x + 1)}^2}}}\)

d) \({\pi  \over 4} + \ln (1 + {\pi  \over 4}) - {1 \over 2}\ln 2\) .

HD: \({{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}\)  và \(d(x\sin x + \cos x) = x\cos xdx\)

Giaibaitap.me