Bài 3.21 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = 2x – x²  , x  + y = 2 ;

b) y = x³ – 12x , y = x²

c) x  + y = 1 ; x + y = -1 ; x – y = 1 ; x – y = -1 ;

d) \(y = {1 \over {1 + {x^2}}},y = {1 \over 2}\)

e) y = x³ – 1 và tiếp tuyến với y = x³ – 1 tại điểm (-1; -2).

Hướng dẫn làm bài

a) \({1 \over 6}\)             

b) \(78{1 \over {12}}\)  .HD: \(S = \int\limits_{ - 3}^0 {({x^3} - 12x - {x^2})dx + } \int\limits_0^4 {({x^2} - {x^3} + 12x)dx} \)

c) 2 ; HD: \(S = 4\int\limits_0^1 {(1 - x)dx} \)

d) \({\pi  \over 2} - 1\)

HD: \(S = 2\int\limits_0^1 {({1 \over {1 + {x^2}}} - {1 \over 2})dx = 2\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}dx}  - 1} \)

Đặt \(x = \tan t\)  để tính \(\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}} dx\)

e)  \({{27} \over 4}\) .HD: Phương trình tiếp tuyến tại (-1; -2) là y = 3x + 1. Do đó, diện tích :\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {(3x + 1 - {x^3} + 1)dx = \int\limits_{ - 1}^2 {(3x + 2 - {x^3})dx} } \)

Bài 3.22 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích vật thể:

a) Có đáy là một tam giác cho bởi:  y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x² + y² = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Hướng dẫn làm bài

a) \({1 \over 3}\)  .

HD: Hình chóp (H.82). Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}}0;1]\) là hình vuông cạnh bằng x , S(x) = x² .

Vậy  \(V = \int\limits_0^1 {S(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^2}dx = {1 \over 3}} } \)

b) \({{16} \over 3}\) .

HD: (H.83) Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}} - 1;1]\)  là hình vuông cạnh AB, trong đó A(x; y) với \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) . Khi đó,  \(AB = 2\sqrt {1 - {x^2}} \). Diện tích thiết diện là:  \(S(x) = 4(1 - {x^2})\) .

Vậy \(V = 4\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})dx = 8\int\limits_0^1 {(1 - {x^2})dx = {{16} \over 3}} } \)

Bài 3.23 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

a) y = 2 – x² , y = 1 , quanh trục Ox.

b) y = 2x – x² , y = x , quanh trục Ox.

c) \(y = {(2x + 1)^{{1 \over 3}}},x = 0,y = 3\), quanh trục Oy.

d) y  = x² + 1 , x = 0 và tiếp tuyến với y = x² + 1 tại điểm (1; 2), quanh trục Ox.

e) y = ln x , y = 0 , x = e , quanh trục Oy.

Hướng dẫn làm bài

a) \({{56} \over {15}}\pi \)                   

b) \({\pi  \over 5}\)                

c) \({{480} \over 7}\pi \) . HD: Xem hình

d) \({8 \over {15}}\pi \)                                     

e) \({{{e^2} + 1} \over 2}\pi \)

Giaibaitap.me