Bài 3.17 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {f(\cos x)dx} } \)

Hướng dẫn làm bài

Đổi biến số: \(x = {\pi  \over 2} - t\)  , ta được: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {f(\sin x)dx =  - \int\limits_{{\pi  \over 2}}^0 {f(\sin ({\pi  \over 2} - t))dt = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {f(\cos t)dt} } } \)

Hay \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {f(\cos x)dx} } \)

Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Đặt  \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)

a) Chứng minh rằng  \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2\)

b) Tính I₃ và I₅.

Hướng dẫn làm bài

a) Xét với n > 2, ta có:  \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx} \)

Dùng tích phân từng phần với   và  , ta có:

\({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}\)

\({= - } \cos x{\sin ^{n - 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} \)

\( = (n - 1)\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {({{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x)dx} \)

\(=  (n - 1){I_{n - 2}} - (n - 1){I_n}\)

Vậy \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\)

b) \({I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}\)

Bài 3.19 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Đặt \({I_{m,n}} = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} dx,m,n \in {N^*}\). Chứng minh rằng:\({I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},m > 0,n > 1\)

 Từ đó tính I_1,2 và I_1,3 .

Hướng dẫn làm bài

Dùng tích phân từng phần với \(u = {(1 - x)^n},dv = {x^m}dx\) , ta được:

\({I_{m,n}} = {{{x^{m + 1}}} \over {m + 1}}{(1 - x)^n}\left| {\matrix{1 \cr 0 \cr} } \right. + {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}{{(1 - x)}^{n - 1}}dx} \)

Vậy \({I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}} {(1 - x)^{n - 1}}dx \)

\(= {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},n > 1,m > 0\) .

\({I_{1,2}} = {1 \over {12}}\)  và \({I_{1,3}} = {1 \over {20}}\)

Bài 3.20 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:

a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{\pi  \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0} \)

b) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {(\root 3 \of {\sin x}  - \root 3 \of {\cos x} } )dx = 0\)

c) \(\int\limits_{ - {1 \over 2}}^{{1 \over 2}} {\ln {{1 - x} \over {1 + x}}} dx = 0\)

d) \(\int\limits_0^2 {({1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1)dx = 0} \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Đúng (vì vế trái bằng \(\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx = 0} \) )

b) Đúng (theo bài 3.17)

c) Đúng (theo bài 3.16)

d) Sai:  Vì  \(1 + {1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} > 1,x \in {\rm{[}}0;2]\)

Giaibaitap.me