Bài 2.55 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ sau:

a) \({(8,4)^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\)                                                               

b) \({2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}\)

c) \(\frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\)                                                          

d) \(\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}\)               

Hướng dẫn làm bài:

a) \(8,{4^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 \Leftrightarrow x < 3\)

b) 

\(\eqalign{
& {2^{|x - 2|}} > {2^{2|x + 1|}} \Leftrightarrow |x - 2| > 2|x + 1| \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4({x^2} + 2x + 1) \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0 \cr
& \Leftrightarrow - 4 < x < 0 \cr} \)

c)

\(\eqalign{
& {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 - x}} \cr
& \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} - 8 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {{t^2} + 2t - 8 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {\left[ {\matrix{{t < - 4} \cr {t > 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x}} \cr {t > 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1 \cr} \)

d) Đặt t = 3^x (t > 0) , ta có bất phương trình \(\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t - 1}}\)

Vì vế trái dương nên vế phải cũng phải dương, tức là \(3t – 1 > 0\).

Từ đó ta có hệ: 

\(\left\{ {\matrix{{3t - 1 \le t + 5} \cr {3t - 1 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow {1 \over 3} < t \le 3\)

Do đó  \(\frac{1}{3} < {3^x} \le 3\) . Vậy \( - 1 < x \le 1\) .

Bài 2.56 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình logarit sau:

a) \(\frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0\)                                                                

b) \(\log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0\)

c) \(\log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)\)                                     

d) \(\ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2\)  

Hướng dẫn làm bài:

a) \(\frac{1}{{{e^2}}} < x < e\)

b) \({(0,2)^3} \le x \le 25\)

c) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ: 

\(\left\{ {\matrix{{{x^2} - x - 2 > 0} \cr {3 - x > 0} \cr {{x^2} - x - 2 < {{(3 - x)}^2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {x > 2} \cr} } \right.} \cr {x < 3} \cr {x < {{11} \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {2 < x < {{11} \over 5}} \cr} } \right.\)         

Vậy tập nghiệm là \(( - \infty ; - 1) \cup (2;\frac{{11}}{5})\)

d)

\(\eqalign{& \ln |(x - 2)(x + 4)| \le \ln 8 \cr & \Leftrightarrow |{x^2} + 2x - 8| \le 8 \cr & \Leftrightarrow - 8 \le {x^2} + 2x - 8 \le 8 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x \ge 0} \cr {{x^2} + 2x - 16 \le 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 2} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.} \cr { - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 2} \cr {0 \le x \le - 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr}\)

Vậy tập nghiệm là \({\rm{[}} - 1 - \sqrt {17} ; - 2] \cup {\rm{[}}0; - 1 + \sqrt {17} {\rm{]}}\)

Bài 2.57 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình sau:

a) \((2x - 7)\ln (x + 1) > 0\)                                                     

b)  \((2x - 7)\ln (x + 1) > 0\)

c) \(2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0\)                                 

d) \(\ln (3{e^x} - 2) \le 2x\)

Trả lời:

a) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

\(\eqalign{& \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{2x - 7 > 0} \cr {\ln (x + 1) > 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{2x - 7 < 0} \cr {\ln (x + 1) < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {x + 1 > 1} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr {0 < x + 1 < 1} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right. \cr}\)

Vậy tập nghiệm là \(( - 1;0) \cup (\frac{7}{2}; + \infty )\)

b) Tươngg tự câu a), tập nghiệm là \((\frac{1}{{10}};5)\)

c) Đặt \(t = {\log _2}x\)  , ta có bất phương trình \(2{t^3} + 5{t^2} + t - 2 \ge 0\)

hay \((t + 2)(2{t^2} + t - 1) \ge 0\)  có nghiệm  \( - 2 \le t \le  - 1\)  hoặc \(t \ge \frac{1}{2}\)

Suy ra   \(\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}\) hoặc \(x \ge \sqrt 2 \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \({\rm{[}}\frac{1}{4};\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )\)

d) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3{e^x} - 2 > 0} \cr {\ln (3{e^x} - 2) \le \ln {e^{2x}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {{e^{2x}} - 3{e^x} + 2 \ge 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {\left[ {\matrix{{{e^x} \le 1} \cr {{e^x} \ge 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{e^x} \ge 2} \cr {{2 \over 3} < {e^x} \le 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x \ge \ln 2} \cr {\ln {2 \over 3} < x \le 0} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy tập nghiệm là \((\ln \frac{2}{3};0] \cup {\rm{[}}\ln 2; + \infty )\)

Bài 2.58 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho:

a) \({(\frac{1}{2})^n} \le {10^{ - 9}}\)                                                                     

b) \(3 - {(\frac{7}{5})^n} \le 0\)

c)  \(1 - {(\frac{4}{5})^n} \ge 0,97\)                                                              

d) \({(1 + \frac{5}{{100}})^n} \ge 2\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \(n \ge {\log _{\frac{1}{2}}}{10^{ - 9}}  \Leftrightarrow n \ge 9{\log _2}10 \approx 29,897\)

Vì n là số tự nhiên bé nhất nên n = 30.

b) n = 4

c) n = 16

d) n = 15

Giaibaitap.me