Bài 2.15 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Cho $a = {\log _3}15,b = {\log _3}10$ . Hãy tính ${\log _{\sqrt 3 }}50$ theo a và b.

b) Cho $a = {\log _2}3,b = {\log _3}5,c = {\log _7}2$ . Hãy tính ${\log _{140}}63$ theo a, b, c.

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:

$a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5) = {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5$ 

Suy ra ${\log _3}5 = a - 1$

$b = {\log _3}10 = {\log _3}(2.5) = {\log _3}2 + {\log _3}5$

Suy ra ${\log _3}2 = b - {\log _3}5 = b - (a - 1) = b - a + 1$

Do đó:

${\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}({2.5^2}) = 2{\log _3}2 + 4{\log _3}5 = 2(b - a + 1) + 4(a - 1) = 2a + 2b - 2$                

b) Ta có:

$\begin{array}{l} {\log _{140}}63 = {\log _{140}}({3^2}.7) = 2{\log _{140}}3 + {\log _{140}}7\\ = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} + \frac{1}{{{{\log }_7}140}} = \frac{2}{{{{\log }_3}({2^2}.5.7)}} + \frac{1}{{{{\log }_7}({2^2}.5.7)}}\\ = \frac{2}{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}} + \frac{1}{{2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5 + 1}} \end{array}$                    

Từ đề bài suy ra:

$\begin{array}{l} {\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\\ {\log _{\frac{1}{2}}}\pi {\log _7}5 = {\log _7}2.{\log _2}3.{\log _3}5 = cab\\ {\log _3}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}3}} = \frac{1}{{{{\log }_7}2.{{\log }_2}3}} = \frac{1}{{ca}} \end{array}$                 

Vậy ${\log _{140}}63 = \frac{2}{{\frac{2}{a} + b + \frac{1}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + cab + 1}} = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}$.

Bài 2.16 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Hãy so sánh mỗi cặp số sau:

a) ${\log _3}\frac{6}{5}$ và ${\log _3}\frac{5}{6}$                                                 

b) ${\log _{\frac{1}{3}}}9$  và ${\log _{\frac{1}{3}}}17$

c) ${\log _{\frac{1}{2}}}e$ và  ${\log _{\frac{1}{2}}}\pi$                                                     

d)  $6\pi {\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2}$  và  ${\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Hướng dẫn làm bài:

a) ${\log _3}\frac{6}{5}$ > ${\log _3}\frac{5}{6}$                                             

b) ${\log _{\frac{1}{3}}}9$  < ${\log _{\frac{1}{3}}}17$

c) ${\log _{\frac{1}{2}}}e$ >  ${\log _{\frac{1}{2}}}\pi$                                                            

d) $6\pi {\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2}$  >  ${\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Bài 2.17 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng:

a) ${\log _{{a_1}}}{a_2}.{\log _{{a_2}}}{a_3}{\log _{{a_3}}}{a_4}.....{\log _{{a_{n - 1}}}}{a_n} = {\log _{{a_1}}}{a_n}$

b) $\frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^3}}}b}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{a^n}}}b}} = \frac{{n(n + 1)}}{{2{{\log }_a}b}}$

Hướng dẫn làm bài:

a) Sử dụng tính chất: ${\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c$

b) Sử dụng tính chất: ${\log _{{a^k}}}b = \frac{1}{k}{\log _a}b$

                          và  $1 + 2 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$    

Giaibaitap.me