Bài 1.56 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số  \(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

b) Cách 1.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) là:

                        y – y₀ = y’(x₀)(x – x₀)

Trong đó \(y'({x_0}) = {{ - 9} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}\) . Ta có:

\(y =  - {9 \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + {y_0}\)  với \({y_0} = {{3({x_0} + 1)} \over {{x_0} - 2}}\)

Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là: 

\({{9{x_0}} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}} + {{3({x_0} + 1)} \over {{x_0} - 2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} \ne 2 \hfill \cr
{x_0}^2 + 2{x_0} - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow  {x_0} =  - 1 \pm \sqrt 3 \)         

+) Với \({x_0} =  - 1 + \sqrt 3 \) , ta có phương trình tiếp tuyến: \(y =  - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 )x\)

+) Với \({x_0} =  - 1 - \sqrt 3 \) , ta có phương trình tiếp tuyến: \(y =  - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )x\) .

Cách 2.

Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.

Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: \(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}}\)  và y = kx , ta giải hệ:

\(\left\{ \matrix{
{{3(x + 1)} \over {x - 2}} = kx \hfill \cr
- {9 \over {{{(x - 2)}^2}}} = k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{3(x + 1)} \over {x - 2}} + {{9x} \over {{{(x - 2)}^2}}} = 0 \hfill \cr
- {{3(x + 1)} \over {x - 2}} = k \hfill \cr} \right.\)                        

Giải phương trình thứ nhất ta được: \(x =  - 1 \pm \sqrt 3 \)

Thay vào phương trình thứ hai ta có: 

   \({k_1} =  - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 );{k_2} =  - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )\)              

Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 )x\) và \(y =  - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )x\)

c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:

\(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}} \Leftrightarrow  y = 3 + {9 \over {x - 2}}\)                         

Điều kiện cần và đủ để  \(M(x,y) \in (C)\)  có tọa độ nguyên là: 

\(\left\{ \matrix{
x \in Z \hfill \cr
{9 \over {x - 2}} \in Z \hfill \cr} \right.\)

  tức (x – 2) là ước của 9.

Khi đó, x – 2 nhận các giá trị \( \pm 1; \pm 3; \pm 9\) hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.

Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là:  (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).

Bài 1.57 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

 \(y = {{x + 2} \over {x - 3}}\)                               

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).

c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.

     Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:

\(\left\{ \matrix{
x = X + 3 \hfill \cr
y = Y + 1 \hfill \cr} \right.\)                                                          

Ta được \(Y + 1 = {{X + 5} \over X} \Leftrightarrow  Y = {{X + 5} \over X} - 1 \Leftrightarrow Y = {5 \over X}\)

Vì \(Y = {5 \over X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.

c) Giả sử \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\) . Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:

  \({d_1} = |{x_0} - 3|,{d_2} = |{y_0} - 1| = {5 \over {|{x_0} - 3|}}\)                        

Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ  \({x_0} = 3 \pm \sqrt 5 \)

Bài 1.58 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng phương trình: 3x⁵ + 15x – 8 = 0   chỉ có một nghiệm thực.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số  3x⁵ + 15x – 8 = 0  là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R.

Vì \(f(0) =  - 8 < 0,f(1) = 10 > 0\) nên tồn tại một số \({x_0} \in (0;1)\) sao cho f(x₀) = 0, tức là phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

Mặt khác, ta có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in R\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến. Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm.

Giaibaitap.me