Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định m để hàm số sau:

a) \(y = {{mx - 4} \over {x - m}}\)đồng biến trên từng khoảng xác định;

b) \(y = {{ - mx - 5m + 4} \over {x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định;

c) \(y =  - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4\) nghịch biến trên  ;

d) \(y = {x^3} - 2m{x^2} + 12x - 7\) đồng biến trên R.

Hướng dẫn làm bài:

a) Tập xác định: D = R\{m}

Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(( - \infty ;m),(m; + \infty )\)khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& y' = {{ - {m^2} + 4} \over {{{(x - m)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 4 > 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \cr} \)

b) Tập xác định: D = R\{m}

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  khi và chỉ khi:

\(y' = {{ - {m^2} + 5m - 4} \over {{{(x + m)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow  - {m^2} + 5m-4 < 0\)

\(\left[ \matrix{
m < 1 \hfill \cr 
m > 4 \hfill \cr} \right.\)

c) Tập xác định: D = R

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& y' = - 3{x^2} + 2mx - 3 \le 0 \Leftrightarrow ' = {m^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 9 \cr 
& \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3 \cr} \)

d) Tập xác định: D = R

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 4mx + 12 \ge 0 \Leftrightarrow ' = 4{m^2} - 36 \le 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} \le 9 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3 \cr} \)

Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất

a) \(3(c{\rm{os x  -  1)  + }}{\rm{2sin x  + 6x  =  0}}\)

b)  \(4x + c{\rm{os x  -  2sin x  -  2  =  0}}\)

c) \( - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\) 

d) \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)

Hướng dẫn làm bài

a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈  R

Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0,  x ∈  R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm \(x = \pi \)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

b) Đặt \(y = 4x + \cos x - 2\sin x - 2\)

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; \(y(\pi ) = 4\pi  - 3 > 0\) .

Hàm số liên tục trên  \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) và y’(0) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (0;\pi )\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .

Suy ra phương trình có một nghiệm \({x_0}\) .

c) Đặt y =  – x³ + x² – 3x + 2

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y’ = – x² + 2x – 3 < 0, \(y(\pi ) = 4\pi  - 3 > 0\), x ∈ R.

Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.

Mặt khác  y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0

                 y(1) = -1  +1 – 3 + 2 = -1 < 0

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in {\rm{[}} - 1;1]\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

d) Đặt  y = x⁵ + x³ – 7

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0

Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in (0;2)\) sao cho \(y({x_0}) = 0\)

Mặt khác \(y' = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) \ge 0,\forall x \in R\)

=> Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; + \infty )\).

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm. 

Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh phương trình \({x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất

(Đề thi đại học năm 2004)

Hướng dẫn làm bài:

Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét

                        x⁵ – x² – 2x – 1 = 0 ⇔  x⁵ = (x + 1)²  0   => x ≥ 0

=>  (x + 1)²  1  => x⁵  1   => x  1

Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\) .

Xét hàm số  \(f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1\)  ta thấy f(x) liên tục trên R

Mặt khác, \(f(1) =  - 3 < 0,f(2) = 23 > 0\)

Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (1;2)\) sao cho \(f({x_0}) = 0\)

Ta có: f’(x) = 5x⁴ – 2x – 2 = (2x⁴ – 2x) + (2x⁴ – 2) + x⁴

                     = 2x(x³ – 1) + 2(x⁴ – 1) + x⁴ > 0 , \(\forall x \ge 1\)

Suy ra f(x) đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\)

Giaibaitap.me