Bài 1 trang 18 sách sgk giải tích 12

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

 a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}36x{\rm{ }}-{\rm{ }}10\) ;                            

b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3\) ;

c) \(y = x + {1 \over x}\)                                                 

d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)^{2}}\);

 e) \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1}\)

Giải:

a) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 6{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} - 36;y' = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2\left( {y = - 54} \right) \hfill \cr 
x = - 3\left( {y = 71} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực trị tại \(x = -3\) và  \(y\)_CĐ \(= 71\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \(y\)_CT \(= -54\)

b) Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(y' = 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left( {{x^2} + 1} \right)\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {y =  - 3} \right)\)

Bảng biến thiên:

Hàm số có điểm cực tiểu tại \(x = 0\) và \(y\)_CT \(= -3\)

c) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)\ { 0 }

\(\eqalign{
& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};y' = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\left( {y = 2} \right) \hfill \cr 
x = - 1\left( {y = - 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\), \(y\)_CĐ \(= -2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)_CT  \(= 2\)

d) Tập xác định \(D = \mathbb R\)

\( y' = 3{{\rm{x}}^2}{\left( {1 - x} \right)^2} - 2{{\rm{x}}^3}\left( {1 - x} \right) \)

     \(= {x^2}\left( {1 - x} \right)\left( {3 - 5{\rm{x}}} \right)\)

\(\eqalign{
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\left( {y = 0} \right) \hfill \cr 
x = {3 \over 5}\left( {y = {{108} \over {3125}}} \right) \hfill \cr 
x = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = {3 \over 5};y = {{108} \over {3125}}\)  

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)_CT =\( 0\)

e) Vì  \(x^2\) –\( x + 1 > 0, ∀  ∈ \mathbb R\) nên tập xác định : \(D = \mathbb R\)

\(y' = {{2{\rm{x}} - 1} \over {2\sqrt {{x^2} - x + 1} }};y = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {y = {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {1 \over 2};{y_{CT}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)   

Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

      a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\) ;       \(b) y = sin2x – x\);

      c)\(y = sinx + cosx\);         d)\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\).

Giải:

a) \(y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)\) ;

\(y' = 0\) \(⇔ 4x(\)\(x^2\)\( - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1\).

\( y'' = 12x^2-4\).

\(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\),

\(y\)_cđ =\( y(0) = 1\).

\(y''(\pm 1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm1\),

\(y\)_ct = \(y(\pm1)\) = 0.

b) \(y' = 2cos2x - 1\) ; 
\(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .\)

 \(y'' = -4sin2x\) .

 \(y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)_cđ =\( sin(\frac{\pi }{3}+ k2π) - \frac{\pi }{6} - kπ\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}- kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

\(y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x =-\frac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)_ct = \(sin(-\frac{\pi }{3}+ k2π) + \frac{\pi }{6} - kπ\) =\(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6} - kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

c) \(y = sinx + cosx \)= \(\sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\);          

\( y' \)=\(\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\) ;

 \(y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow\)\(x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .\)

\(y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).\) 

\(y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )\)

\(=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )\)

\(=\left\{ \matrix{
- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr 
\sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi\),

đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).\)

d) \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)\); \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} =  \pm 1\).

\(y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\).

\(y''(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\),

\(y\)_ct =\( y(1) = -1\).

\(y''(-1) = -14 < 0\) hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\),

\(y\)_cđ = \(y(-1) = 3\).

Bài 3 trang 18 sách sgk giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{\left | x \right |}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Giải:

Đặt \(y=f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\). Giả sử \(x > 0\), ta có :

\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .\)

Do đó hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\) . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) vì \(f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\geq 0=f(0),\forall x\in\mathbb R\).

Giaibaitap.me