Bài 67 trang 102 sgk toán 8 tập 1

Cho đoạn thẳng \(AB\). Kẻ tia \(Ax\) bất kì. Trên tia \(Ax\) lấy các điểm \(C, D, E\) sao cho \(AC = CD = DE\) (h.97). Kẻ đoạn thẳng \(EB\). Qua \(C, D\) kẻ các đường thẳng song song với \(EB\). Chứng minh rằng đoạn thẳng \(AB\) bị chia ra ba phần bằng nhau.

Bài giải:

Qua \(A\) dựng đường thẳng \(d\) song song với \(CC'\)

Ta có: \(d//EB // DD' // CC'\) và \(AC = CD = DE\) (theo giả thiết).

Theo định lí về các đường thẳng song song cách đều ta suy ra các đường thẳng \(d,EB,DD',CC'\) là các đường thẳng song song cách đều nên nó chắn trên \(AB\) các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau

                    Hay  \( AC' = C'D' = D'B\)

Vậy đoạn thẳng \(AB\) bị chia thành ba phần bằng nhau.

Bài 68 trang 102 sgk toán 8 tập 1

Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường thẳng \(d\) và có khoảng cách đến \(d\) bằng \(2cm\). lấy điểm \(B\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\). Gọi \(C\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(B\). Khi điểm \(B\) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì điểm \(C\) di chuyển trên đường nào ?

Bài giải:

Kẻ \(AH\) và \(CK\) vuông góc với \(d\).

Ta có \(AB = CB\) (vì \(C\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B\))

\(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{CBK}\) ( đối đỉnh)

nên  \(∆AHB =  ∆CKB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra \(CK = AH = 2cm\)

Điểm \(C\) cách đường thẳng \(d\) cố định một khoảng cách không đổi \(2cm\) nên \(C\) di chuyển trên đường thẳng \(m\) song song với \(d\) và cách \(d\) một khoảng bằng \(2cm\).

Bài 69 trang 103 sgk toán 8 tập 1

Ghép mỗi ý (1), (2), (3), (4) với một trong các ý (5), (6), (7), (8) để được một khẳng định đúng:

(1) Tập hợp các điểm cách điểm \(A\) cố định một khoảng \(3cm\)

(2) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng \(AB\) cố định

(3) Tập hợp các điểm nằm trong góc \(xOy\) và cách đều hai cạnh của góc đó

(4) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng \(a\) cố định một khoảng \(3cm\)

(5) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

(6) la hai đường thẳng song song với \(a\) và cách \(a\) một khoảng \(3cm\)

(7) là đường tròn tâm \(A\) bán kính \(3cm\).

(8) là tia phân giác của góc \(xOy\).

Bài giải:

Ghép các ý như sau:

(1) với (7)

(2) với (5)

(3) với (8)

(4) với (6)

Bài 70 trang 103 sgk toán 8 tập 1

Cho góc vuông \(xOy\), điểm \(A\) thuộc tia \(Oy\) sao cho \(OA = 2cm\). Lấy \(B\) là một điểm bất kì thuộc tia \(Ox\). Gọi \(C\) là trung điểm của \(AB\). Khi điểm \(B\) di chuyển trên tia \(Ox\) thì điểm \(C\) di chuyển trên đường nào ?

Bài giải

Kẻ \(CH ⊥ Ox\)

Ta có \(CB = CA\) (vì \(C\) là trung điểm của \(AB\))

\(CH // AO\) (cùng vuông góc \(Ox\)) 

Mặt khác \(C\) là trung điểm của \(AB\) nên \(CH\) là đường trung bình của tam giác \(ABO\)

Suy ra \(CH = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}.2 = 1 (cm)\)

Điểm \(C\) cách tia \(Ox\) cố định một khoảng không đổi \(1cm\) nên \(C\) di chuyển trên tia  \(Em\) song song với \(Ox\) và cách \(Ox\) một khoảng bằng \(1cm\).

Bài 71 trang 103 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Lấy \(M\) là một điểm bất kì thuộc cạnh \(BC\). Gọi \(MD\) là đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB\), \(ME\) là đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AC\), \(O\) là trung điểm của \(DE\).

a) Chứng mình rằng ba điểm \(A, O, M\) thẳng hàng.

b) Khi điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC\) thì điểm \(O\) di chuyển trên đường nào ?

c) Điểm \(M\) ở vị trí nào trên cạnh \(BC\) thì \(AM\) có độ dài nhỏ nhất ?

Bài giải:

a) Tứ giác \(ADME\) có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}\)

nên tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật

\(O\) là trung điểm của đường chéo \(DE\) do đó \(O\) cũng là trung điểm của \(AM\).

Vậy \(A, O, M\) thẳng hàng

b) Kẻ \(AH ⊥ BC\).

Cách 1:

Kẻ \(OK ⊥ BC\). Ta có \(OA = OM, OK // AH\) (do cùng vuông góc với \(BC\)).

Suy ra \(OK = {1 \over 2}AH\)

Điểm \(O\) cách đoạn \(BC\) cố định một khoảng không đổi bằng \({1 \over 2}AH\).

Mặt khác khi \(M\) trùng \(C\) thì \(O\) chính là trung điểm của \(AC\), khi \(M\) trùng \(B\) thì \(O\) chính là trung điểm của \(AB\).

Vậy \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Cách 2:

Vì \(O\) là trung điểm của \(AM\) nên \(HO\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\). Do đó \(OA = OH\). Suy ra điểm \(O\) di chuyển trên đường trung trực của \(AH\).

Mặt khác vì \(M\) di chuyển trên đoạn \(BC\). Vậy điểm \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của \(ABC\).

c) Ta có \(AH\) là đường cao hạ từ \(A\) đến \(BC\) do đó \(AM\ge AH\). Vậy \(AM\) nhỏ nhất khi \(M\) trùng \(H\).

Bài 72 trang 103 sgk toán 8 tập 1

Đố. Để vạch một đường thẳng song song với mép gỗ 10cm, bác thợ mộc đặt đoạn bút chì CD dài 10cm vuông góc với ngón tay trỏ lấy làm cữ (h.98), rồi đưa ngón trỏ chạy dọc theo mép gỗ AB. Căn cứ vào kiến thức nào mà ta kết luận được rằng đầu chì C vạch nên đường thẳng song song với AB và cách AB là 10cm ?

Bài giải:

Căn cứ vào tính chất đưởng thẳng song song với một đường thẳng cho trước ta kết luận là vì điểm C cách mép gỗ AB một khoảng bằng 10cm nên đầu chì C vạch nên đường thằng song song với AB và cách AB một khoảng 10cm.

Giaibaitap.me