Bài 87 trang 111 sgk toán 8 tập 1

Sơ đồ ở hình 109 biểu thị quan hệ giữa các tập hợp hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Dựa vào sơ đồ đó, hãy điền vào chỗ trống:

a) Tập hợp các hình chữ nhật là tập hợp con của tập hợp các hình …

b) Tập hợp các hình thoi là tập hợp con của tập hợp các hình …

c) Giao của tập hợp các hình chữ nhật và tập hợp các hình thoi là tập hợp các hình…

Giải

a) Tập hợp các hình chữ nhật là tập hợp con của tập hợp các hình bình hành, hình thang.

b) Tập hợp các hình thoi là tập hợp con của tập hợp các hình bình hành, hình thang.

c) Giao điểm của tập hợp các hình chữ  nhật và tập hợp các hình thoi là tập hợp các hình vuông.

Bài 88 trang 111 sgk toán 8 tập 1

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EFGH là:

a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?      

c) Hình vuông

Hướng dẫn làm bài:

Ta có: EB = EA, FB = FC (gt)

Nên EF //AC, EF =  \({1 \over 2}\) AC.

HD = HA, GD = GC (gt)

Nên HG // AC, HG =  \({1 \over 2}\)AC.

Do đó EF //HG, EF = HG.

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành.

a)Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật ⇔EH  ⊥ EF

   ⇔ AC ⊥ BD (vì EH // CD. EF // AC)

Điều kiện phải tìm: các đường chéo AC và BD vuông góc với  nhau.

b)Hình bình hành EFGH là hình thoi   ⇔EF = EH

  ⇔AC = BD (vì  \(EF = {1 \over 2}AC,EH = {1 \over 2}BD)\)

Điều kiện phải tìm: các đường chéo AC và BD bằng nhau.

c)Hình bình hành EFGH là hình vuông.

EFGH là hình vuông

EFGH là hình thoi

=> AC ⊥ BD và AC = BD

Điều kiện phải tìm: các đường chéo AC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau.

Bài 89 trang 111 sgk toán 8 tập 1

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB, E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D\).

a)Chứng minh rằng điểm \(E\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(AB\).

b)Các tứ giác \(AEMC, AEBM\) là hình gì? Vì sao?

c)Cho \(BC = 4cm\), tính chu vi tứ giác \(AEBM\).

d)Tam giác vuông \(ABC\), có điều kiện gì thì \(AEBM\) là hình vuông?

Giải

a) Ta có \(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) ),

\(BD = DA\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) )

nên \(MD\) là đường trung bình của \(∆ABC\)

Do đó \(MD // AC\)

Do \(AC ⊥ AB\) nên \(MD ⊥ AB\)

Ta có \(AB\) là đường trung trực của \(ME\) (do \(AB ⊥ ME\) tại \(D\) và \(DE = DM\)) nên \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\).

b)

+) Ta có: \(EM // AC\) (do \(MD // AC\))

\(EM = AC\) (cùng bằng \(2DM\))

Nên \(AEMC\)  (là hình bình hành)

+) Tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình bình hành \(AEBM\) có \(AB ⊥ EM\) nên là hình thoi.

c)Ta có \(BC = 4 cm \Rightarrow BM = 2 cm\).

Chu vi hình thoi \(AEBM\) bằng \(4.BM = 4. 2 = 8(cm)\)

d)Cách 1 :

Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔ AB = EM ⇔ AB = AC\)

Vậy nếu \(ABC\) vuông có thêm điều kiện \(AB = AC\) (tức là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)) thì \(AEBM\) là hình vuông.

Cách 2 :

Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔AM ⊥ BM\)

\(⇔ABC\) có trung tuyến \(AM\) là đường cao

\(⇔∆ABC\) cân tại \(A\).

Vậy nếu \(∆ABC\) vuông có thêm điều kiện cân tại \(A\) thì \(AEBM\) là hình vuông.

Bài 90 trang 112 sgk toán 8 tập 1

Đố: Tìm trục đối xứng và tâm đối xứng của:

a) Hình 110 (sơ đồ một sân quần vợt);

b) Hình 111

Giải

a) Hình 110 (sân quần vợt) có hai trục đối xứng, có một tâm đối xứng.

- Hai trục đối xứng \(AB\) và \(CD\).

- Một tâm đối xứng là \(O\).

b) Hình 111 (Tháp Rùa và bóng của nó trên mặt nước) có hai trục đối xứng, có một tâm đối xứng.

- Hai trục đối xứng là \(MN\) và \(PQ\).

- Một tâm đối xứng là \(I\).

Giaibaitap.me