Bài 73 trang 105sgk toán 8 tập 1

Tìm các hình thoi trên hình 102.

Bài giải:

Các tứ giác ở hình 39 a, b, c, e là hình thoi.

- Ở hình 102a, tứ giác \(ABCD\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi (theo định nghĩa)

- Ở hình 102b,

Xét \(\Delta EFG\) và \(\Delta GHE\) có:

+) \(EG\) chung

+) \(EF=GH\) (giả thiết)

+) \(FG=HE\) (giả thiết)

Suy ra \(\Delta EFG=\Delta GHE\)

\(\Rightarrow \widehat {FEG} = \widehat {HGE}\) (hai góc so le trong)

Do đó tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành

Hơn nữa ta lại có \(EG\) là phân giác của góc \(FEH\)

Do đó \(EFGH\) là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết 4)

- Ở hình 102c, \(KINM\) là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết 3)

-Ở hình 102e, \(ADBC\) là hình thoi (theo định nghĩa, vì \(AC = AD = AB = BD = BC\))

Tứ giác trên hình 102d không là hình thoi.

Bài 74 trang 106 sgk toán 8 tập 1

Hai đường chéo của một hình thoi bằng \(8cm\) và \(10cm\). Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị sau:

(A) \(6cm\);                     (B) \(\sqrt {41} cm\)                  

(C) \(\sqrt {164} cm\)               (D) \(9cm\) ?

Bài giải:      

Xét bài toán tổng quát:

\(ABCD\) là hình thoi, \(O\) là giao điểm hai đường chéo.

Theo tính của hình thoi hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABO\) ta có:

\(\eqalign{
& A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {\left( {{1 \over 2}AC} \right)^2} + {\left( {{1 \over 2}BD} \right)^2} \cr
& \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}AC} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2}BD} \right)}^2}} \cr&= \sqrt {{4^2} + {5^2}} = \sqrt {41} cm \cr} \)

Vậy (B) đúng.

Bài 75 trang 106 sgk toán 8 tập 1

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Bài giải:

Giả sử hình chữ nhật \(ABCD\) có \(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\)

Bốn tam giác vuông \(EAH, EBF, GDH, GCF\) có:

\(AE = BE = DG = CG\) ( = \(\frac{1}{2}AB\) = \(\frac{1}{2}CD\) )

\(HA = FB = DH = CF\) ( = \(\frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC\) )

Suy ra \(∆EAH = ∆EBF = ∆GDH = ∆GCF (c.g.c)\)

Suy ra \(EH = EF = GH = GF\)

Vậy \(EFGH\) là hình thoi (theo định nghĩa)

Bài 76 trang 106 sgk toán 8 tập 1

 Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Bài giải:

Ta có: \(EB = EA, FB = FC\) (gt)

nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ABC\).

Do đó \(EF // AC\)

\(HD = HA, GD = GC\) (gt)

nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ADC\).

Do đó \(HG // AC\)

Suy ra \(EF // HG\)       (1)

Chứng minh tương tự \(EH // FG\)    (2)

Từ (1) (2) ta được \(EFGH\) là hình bình hành.

Lại có \(EF // AC\) và \(BD ⊥ AC\) nên \(BD ⊥ EF\)

\(EH // BD\) và \(EF ⊥ BD\) nên \(EF ⊥ EH\)

nên \(\widehat{FEH} = 90^0\)

Hình bình hành \(EFGH\) có \(\widehat{E} = 90^0\) nên là hình chữ nhật.

Bài 77 trang 106 sgk toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Bài giải:

a) Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình.

b) BD là đường trung trực của AC (do BA = BC, DA = DC) nên A đối xứng với C qua BD.

B và D cũng đối xứng với chính nó qua BD.

Do đó BD là trục đối xứng với chính nó qua BD.

Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi.

Tương tự AC cũng là trục đối xứng của hình thoi.

Bài 78 trang 106 sgk toán 8 tập 1

Đố. Hình 103 biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bàng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt tại hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt I, K, M, N, O nằm trên một đường thẳng ?

Bài giải:

Các tứ giác IEKF, KGMH là hình thoi nên KI là phân giác góc EKF, KM là phân giác của góc GKH.

Mà \(\widehat{EKF}\) = \(\widehat{HKG}\)

Nên \(\widehat{K_{1}}\) = \(\widehat{K_{2}}\) = \(\widehat{K_{4}}\) = \(\widehat{K_{5}}\)

Do đó \(\widehat{K_{2}}\) +\(\widehat{K_{3}}\) + \(\widehat{K_{4}}\) = \(\widehat{K_{2}}\) + \(\widehat{K_{3}}\) + \(\widehat{K_{1}}\)=180⁰

Suy ra I, K, M thẳng hàng.

Chứng minh tương tự, các điểm I, K, M, N, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Giaibaitap.me