Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1)$.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $AB, AC, AD$ vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

b) Viết phương trình mặt cầu $(S)$ đi qua bốn điểm $A, B, C, D$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ và song song với mặt phẳng $(ABD)$.

Giải

a) Ta xét các tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$; $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$; $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0)$, $\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)$, $\overrightarrow {AD} = (0; 2; 0)$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = (-1).0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}$

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Ta có: $V_{ABCD}$ =${1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.AC.AD$

Ta tính được: $AB = 1; AC = 4; AD = 2$

$\Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}$(đtdt)

b) Gọi $I(a; b; c)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

$IA = IB = IC$  $\Rightarrow I$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$. Tam giác $ACD$ vuông tại đỉnh $A$ nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ là đường thẳng vuông góc với mp $(ACD)$ và đi qua trung điểm $M$ của cạnh huyền $CD$.

Như vậy $MI // AB$                       (1)

Ta lại có $IA = IB$. Gọi $P$ là trung điểm của $AB$, ta có:

$MI = AP$ = ${1 \over 2}AB$                        (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\overrightarrow {MI}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB}$

Với $C (2; 4; 3), A (2; 4; -1)$ $\Rightarrow M (2; 3; 1)$

$\overrightarrow {MI}= (a - 2; b - 3; c - 1)$; $\overrightarrow {AB}  = (-1; 0; 0)$

$\left\{ \matrix{ a - 2 = {1 \over 2}( - 1) \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr  b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr  c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.$

Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là $I$$\left( {{3 \over 2};3;1} \right)$

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là $r$ thì:

$r^2 = IA^2$ =${\left( {2 - {3 \over 2}} \right)^2} + {(4 - 3)^2} + {( - 1 - 1)^2} = {{21} \over 4}$

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$:

${\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = {{21} \over 4}$

c) Ta cũng có $AC ⊥ (ABD)$. Mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng $(ABD)$ nên nhận $\overrightarrow {AC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow {AC}  = (0; 0; 4)$ nên phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $z + D = 0$.

Khoảng cách từ tâm $I$ của mặt cầu đến mặt phẳng $(α)$ là:

$d(I,(α)) ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|$

Để mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:

$d(I,(α)) = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}$

Ta có hai mặt phẳng:

(1) $1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1$

$\left( {{\alpha _1}} \right):z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0$

(2)  $1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D =  - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1$

 $\left( {{\alpha _2}} \right):z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0$

Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d$:

$\left\{ \matrix{ x = 1 - 2t \hfill \cr  y = 2 + t \hfill \cr  z = 3 - t \hfill \cr} \right.$và mặt phẳng $(α) : 2x + y + z = 0$.

a) Tìm toạ độ giao điểm $A$ của $d$ và $(α)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(β)$ qua $A$ và vuông góc với $d$.

Giải

Thay các biểu thức theo $t$ của $x, y, z$ trong phương trình tham số của $(d)$ vào phương trình của mặt phẳng $(α)$, ta có:

$2(1 - 2t) + (2 + t) + (3 - t) = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4}$

Từ đây, ta có toạ độ giao điểm $A$ của $(d)$ và $(α)$

$\left\{ \matrix{ x = 1 - 2.{7 \over 4} = - {{10} \over 4} \hfill \cr  y = 2 + {7 \over 4} = {{15} \over 4} \hfill \cr  z = 3 - {7 \over 4} = {5 \over 4} \hfill \cr} \right.$$\Rightarrow A\left( { - {{10} \over 4};{{15} \over 4};{5 \over 4}} \right)$

b) Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a  = (-2; 1; -1)$. Mặt phẳng $(β)$ vuông góc với $(d)$, nhận $\overrightarrow a$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình của $(β)$ là:

$- 2\left( {x + {{10} \over 4}} \right) + 1.\left( {y - {{15} \over 4}} \right) - 1.\left( {z - {5 \over 4}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 4x - 2y + 2z + 15 = 0$

Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ và phương trình tham số của đường thẳng $AD$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa $AD$ và song song với $BC$.

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)$, $\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)$.

Gọi $\vec n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ thì:

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$

$\Rightarrow \overrightarrow n  = ( - 6;10;4) =-2(3; -5; -2)$.

Chọn vectơ $(3; -5; -2)$ là vectơ pháp tuyến của mp $(ABC)$ và được phương trình:

$3(x + 1) - 5(y - 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0$

Đường thẳng $AD$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)$ và đi qua $A(-1; 2; 0)$ có phương trình chính tắc là:

${{x + 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 2}}$

b) Ta có: $\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)$, $\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)$

Gọi $\overrightarrow m$ là vectơ pháp tuyến của mp $(α)$ thì:

$\overrightarrow m  = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)$

$(α)$ chứa $AD$ nên chứa điểm $A(-1; 2; 0)$

Phương trình của $(α)$ là:

$5(x + 1) - 9(y - 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow 5x - 9y  - 2z + 23 = 0$.

Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1)$ và $D(-1 ; 1 ; 2)$

a) Viết phương trình mặt phẳng $(BCD)$. Suy ra $ABCD$ là một tứ diện.

b) Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(BCD)$.

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của $(S)$ và mặt phẳng $(BCD)$.

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow {BC}  = (-3; 0; 1)$, $\overrightarrow {BD}  = (-4; -1; 2)$

Gọi $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của mp $(BCD)$ thì:

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)$

Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $B$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (1; 2; 3)$ có phương trình:

$1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0$

Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình của mp $(BCD)$, ta có:

$3 + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 ≠ 0$

Vậy $A ∉ (BCD)$ $\Rightarrow$bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

b) Mặt cầu tâm $A$, tiếp xúc với mp $(BCD)$ có bán kính bằng khoảng cách từ $A$ đến mp $(BCD)$:

$r = d (A,(BCD))$ =${{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14}$

Phương trình mặt cầu cần tìm:

$(S) (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14$

c) Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $A$ và vuông góc với mp $(BCD)$ là: 

$\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr  y = - 2 + 2t \hfill \cr  z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.$

Thay các biểu thực này vào phương trình của $(BCD)$, ta có:

$(3 + t) + 2(-2 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 7 = 0$$\Leftrightarrow t = 1$

Từ đây ta được toạ độ điểm $H$, tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ và mp $(BCD)$:

$\left\{ \matrix{ x = 3 + t \Rightarrow x = 4 \hfill \cr  y = - 2 + 2 \Rightarrow y = 0 \hfill \cr  z = - 2 + 3 \Rightarrow z = 1 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow$ $H(4; 0; 1)$

Giaibaitap.me