Câu 4.21 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi \(z = \bar z\)

b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực: \(z =  - {{3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}}\)

Hướng dẫn làm bài

a) Hiển nhiên \(z \in R\) thì \(z = \bar z\) . Ngược lại, giả sử z = a + bi và \(z = \bar z\). Từ đó suy ra

a + bi = a – bi và do đó b = - b hay b = 0.

Vậy \(z \in R\) 

b) Ta có  \(z = {{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}}\),

suy ra \(\bar z = \overline {({{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}})}  = \overline {({{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}})}  + \overline {({{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}})} \)\( = \overline {{{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}}}  + \overline {{{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}}}  = {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}} + {{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}} = z\)

Vậy \(z \in R\).

Câu 4.22 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)  \(\sqrt 2  - i\sqrt 3 \)

b) i

c) \({{1 + i\sqrt 5 } \over {3 - 2i}}\)

d) \({(3 + i\sqrt 2 )^2}\)

Hướng dẫn làm bài

a) \({1 \over {\sqrt 2  - i\sqrt 3 }} = {{\sqrt 2  + i\sqrt 3 } \over 5} = {{\sqrt 2 } \over 5} + {{\sqrt 3 } \over 5}i\)

b) \({1 \over i} =  - i\)

c) \({{3 - 2i} \over {1 + i\sqrt 5 }} = {{(3 - 2i)(1 - i\sqrt 5 )} \over 6} = {{3 - 2\sqrt 5 } \over 6} - {{3\sqrt 5  + 2} \over 6}i\)

d) \({1 \over {{{(3 + i\sqrt 2 )}^2}}} = {{{{(3 - i\sqrt 2 )}^2}} \over {121}} = {7 \over {121}} - {{6\sqrt 2 } \over {121}}i\)

Câu 4.23 trang 208 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải phương trình sau trên tập số phức:

\((1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i\)

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)

Hướng dẫn làm bài

\(\eqalign{
& \left( {1 - i} \right)z + \left( {2 - i} \right) = 4 - 5i \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 4 - 5i - 2 + i \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 2 - 4i \cr
& \Leftrightarrow t = {{2 - 4i} \over {1 - i}} \cr
& = {{\left( {2 - 4i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over {1 + 1}} = {{2 + 2i + 4i + 4} \over 2} = 3 - i \cr} \)

Câu 4.24 trang 208 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm các số phức  \(2z + \bar z\)  và \({{25i} \over z}\)  biết rằng z = 3 – 4i

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2012)

Hướng dẫn làm bài

\(\eqalign{
& 2z + \bar z = 2\left( {3 - 4i} \right) + 3 + 4i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 - 8i + 3 + 4i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9 - 4i \cr} \)

\(\eqalign{
& {{25i} \over z} = {{25i} \over {\left( {3 - 4i} \right)}} \cr
& = {{25i\left( {3 + 4i} \right)} \over {\left( {3 - 4i} \right)\left( {3 + 4i} \right)}} \cr
& = {{75i + 100{i^2}} \over {{3^2} - {{\left( {4i} \right)}^2}}} \cr
& = {{75i - 100} \over {25}} = 3i - 4 \cr} \)

Giaibaitap.me