Bài 51 trang 58 sgk toán 8 tập 1

Làm các phép tính sau:

a) \(\left( {{{{x^2}} \over {{y^2}}} + {y \over x}} \right):\left( {{x \over {{y^2}}} - {1 \over y} + {1 \over x}} \right);\)

b) \(\left( {{1 \over {{x^2} + 4x + 4}} - {1 \over {{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {{1 \over {x + 2}} + {1 \over {x - 2}}} \right)\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \(\left( {{{{x^2}} \over {{y^2}}} + {y \over x}} \right):\left( {{x \over {{y^2}}} - {1 \over y} + {1 \over x}} \right) = {{{x^2}.x + y.{y^2}} \over {x{y^2}}}:{{x{y^2}} \over {{x^2} - xy + {y^2}}}\)

\( = {{{x^3} + {y^3}} \over {x{y^2}}}:{{{x^2} - xy + {y^2}} \over {x{y^2}}} = {{{x^3} + {y^3}} \over {x{y^2}}}.{{x{y^2}} \over {{x^2} - xy + {y^2}}}\)

\( = {{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)x{y^2}} \over {x{y^2}\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}} = x + y\)

b) \(\left( {{1 \over {{x^2} + 4x + 4}} - {1 \over {{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {{1 \over {x + 2}} + {1 \over {x - 2}}} \right)\)

\( = \left[ {{1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - {1 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right]:{{x - 2 + x + 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

\( = {{{{\left( {x - 2} \right)}^2} - {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {2x}}\)

\( = {{\left( {{x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 4x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {2x{{(x + 2)}^2}{{(x - 2)}^2}}}\)

\( = {{ - 8x} \over {2x{{(x + 2)}^2}{{(x - 2)}^2}}} = {4 \over {{{(x + 2)}^2}{{(x - 2)}^2}}}\)

Bài 52 trang 58 sgk toán 8 tập 1

Chứng tỏ rằng với (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức

 \(\left( {a - {{{x^2} + {a^2}} \over {x + a}}} \right).\left( {{{2a} \over x} - {{4a} \over {x - a}}} \right)\)  là một số chẵn.

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác định là :\(x \ne 0,x \ne  \pm a\) ( a là một số nguyên)

Ta có :\(\left( {a - {{{x^2} + {a^2}} \over {x + a}}} \right).\left( {{{2a} \over x} - {{4a} \over {x - a}}} \right)\)

\(= {{ax + {a^2} - {x^2} - {a^2}} \over {x + a}}.{{2ax - 2{a^2} - 4ax} \over {x\left( {x - a} \right)}}\)

\( = {{x\left( {a - x} \right)2a\left( { - a - x} \right)} \over {x\left( {a + a} \right)\left( {x - a} \right)}} = 2a\)

Vì a là số nguyên nên 2a là số chẵn.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số chẵn.

Bài 53 trang 58 sgk toán 8 tập 1

a)Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số :

\(1 + {1 \over x}\);                 

\(1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}\) ;            

\(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}}\)  ;

b)Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức \(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}}}}}}\)

thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.

Hướng dẫn làm bài:

a)+\(1 + {1 \over x} = {x \over x} + {1 \over x} = {{x + 1} \over x}\)

Áp dụng câu a) ta có :

 \(1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}} = 1 + {1 \over {{{x + 1} \over x}}} = 1 + {x \over {x + 1}} \)

\(= {{x + 1 + x} \over {1 + x}} = {{2x + 1} \over {x + 1}}\)

Dùng kết quả câu b) ta có :

\(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}} = 1 + {1 \over {{{2x + 1} \over {x + 1}}}} \)

\(= 1 + {{x + 1} \over {2x + 1}} = {{2x + 1 + x + 1} \over {2x + 1}} = {{3x + 2} \over {2x + 1}}\) 

b)Đối với các biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau :

Qua các kết quả của các bài ở câu a ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó.

Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả là \({{5x + 3} \over {3x + 2}}\), và trong trường hợp này có 5 gạch phân số, kết quả sẽ là \({{8x + 5} \over {5x + 3}}\) .

Thật vậy :  \(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}}}}}} = 1 + {1 \over {{{3x + 2} \over {2x + 1}}}} = 1 + {{2x + 1} \over {3x + 2}} \)

\(= {{3x + 2 + 2x + 1} \over {3x + 2}} = {{5x + 3} \over {3x + 2}}\)

Do đó \(1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over {1 + {1 \over x}}}}}}}}} = 1 + {1 \over {{{5x + 3} \over {3x + 2}}}}\)

=\(1 + {{3x + 2} \over {5x + 3}} = {{5x + 3 + 3x + 2} \over {5x + 3}} = {{8x + 5} \over {5x + 3}}\)

Bài 54 trang 59 sgk toán 8 tập 1

Tìm các giá trị của x để giá trị của các phân thức sau được xác định :

a)\({{3x + 2} \over {2{x^2} - 6x}}\);                                

b)\({5 \over {{x^2} - 3}}\).

Hướng dẫn làm bài:

a) \(2{x^2} - 6x = 2x\left( {x - 3} \right) \ne 0\) khi \(2x \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\)

Vậy \(x \ne 0\) và \( x \ne 3\) .

b) \({x^2} - 3 = {x^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right) \ne 0\)

Khi \(x - \sqrt 3  \ne 0\) và \( x + \sqrt 3  \ne 0\) .

Vậy \(x \ne  - \sqrt 3\) và \( x \ne \sqrt 3 \)

Bài 55 trang 59 sgk toán 8 tập 1

Cho phân thức \({{{x^2} + 2x + 1} \over {{x^2} - 1}}\).

a)Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b)Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là \({{x + 1} \over {x - 1}}\).

c)Để tính giá trị của phân thức đã cho tại x = 2 và tại x = -1, bạn Thắng đã làm như sau:

-Với x = 2, phân thức đã cho có giá trị là \({{2 + 1} \over {2 - 1}} = 3\);

-Với x = -1, phân thức đã cho có giá trị là \({{ - 1 + 1} \over { - 1 - 1}} = 0\).

Em có đồng ý không? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.

Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn?

Hướng dẫn làm bài:                                   

a) \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0khix - 1 \ne 0\) \( x + 1 \ne 0\)

Vậy  \(x \ne 1,x \ne  - 1\)

b)Rút gọn phân thức: \({{{x^2} + 2x + 1} \over {{x^2} - 1}} = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{x + 1} \over {x - 1}}\)

c)Với x =2, giá trị của phân thức đã cho được xác định, do đó phân thức đã cho có giá trị bằng \({{2 + 1} \over {2 - 1}} = 3\). Bạn Thắng đã tính đúng.

Với x = -1, giá trị của phân thức đã cho không xác định (vì điều kiện của biến x để giá trị phân thức được xác định là \((x \ne 1,x \ne  - 1)\) nên trong trường hợp này bạn Thắng làm sai.

Bài 56 trang 59 sgk toán 8 tập 1

Cho phân thức \({{3{x^2} + 6x + 12} \over {{x^3} - 8}}\).

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức.

c) Em có biết trên 1cm² bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không?

Tín giá trị của biểu thức đã cho tại \(x = {{4001} \over {2000}}\) em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ. (Tuy nhiên trong số đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại).

Hướng dẫn làm bài:

a) \({x^3} - 8 = {x^3} - {2^3} = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)

Vì \({x^2} + 2x + 4 = {x^2} + 2x + 1 + 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\)

Với mọi giá trị của x nên \({x^3} - 8 \ne 0\)

 Khi \(x - 2 \ne 0hayx \ne 2\). Vậy điều kiện của biến là \(x \ne 2\).

b) \({{3{x^2} + 6x + 12} \over {{x^3} - 8}} = {{3\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} = {3 \over {x - 2}}\)

c) Vì \(x = {{4001} \over {2000}} \ne 2\) thỏa mãn điều kiện của x nên khi đó giá trị của biểu thức đã cho bằng:

 \({3 \over {{{4001} \over {2000}} - 2}} = {3 \over {{{4001 - 2.2000} \over {2000}}}} = {{3.2000} \over {4001 - 2.2000}}\)

\(= {{6000} \over {4001 - 4000}} = 6000\)

Như vậy trên 1cm² bề mặt da của ta có 6000 con vi khuẩn, tuy nhiên số vi khuẩn có hai trong số đó là 6000.20%=1200 con.

Giaibaitap.me