Bài 5.13 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số:

\(s(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2};c(x) = {{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2};t(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}\)

Hãy chứng minh rằng:

a) \({c^2}(x) - {s^2}(x) = 1\)                   

b) \(s(2x) = 2s(x)c(x)\)

c)   \(c(2x) = 2{c^2}(x) - 1 = 2{s^2}(x) + 1 = {c^2}(x) + {s^2}(x)\)  

d) \(t(2x) = {{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}}\)

Hướng dẫn làm bài

Với a dương và khác 1, ta có:

a)  \({c^2}(x) - {s^2}(x) = {({{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2})^2} - {({{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2})^2}\)

\(= {{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2 - {a^{2x}} - {a^{ - 2x}} + 2} \over 4} = {4 \over 4} = 1\)

d) \(t(2x) = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}\) . Mặt khác, ta có:

 \(1 + {t^2}(x) = 1 + {({{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}})^2} = {{2({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2}}\)

Ta biến đổi vế phải  

\({{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}} = 2{{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}.{{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2} \over {2({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})}}\)

\(= {{2({a^x} - {a^{ - x}}){{({a^x} + {a^{ - x}})}^2}} \over {2({a^x} + {a^{ - x}})({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})}} = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}\)

Bài 5.14 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Hãy biểu diễn:

a) \({\log _{30}}8\)  qua  \(a = {\log _{30}}3\) và \(b = {\log _{30}}5\) ;

b)  \({\log _9}20\) qua \(a = \log 2\)  và  \(b = \log 3\)

Hướng dẫn làm bài

a) Ta có

\({\log _{30}}8 = {\log _{30}}{2^3}\)

\(= 3{\log _{30}}2 \)

\(= 3.{\log _{30}}{{30} \over {15}}\)

\(= 3({\log _{30}}30 - {\log _{30}}(3.5))\)

\(= 3(1 - {\log _{30}}3 - {\log _{30}}5) = 3(1 - a - b)\)

b) Chuyển sang cơ số 10. Sau khi biến đổi, ta được \({\log _9}20 = {{1 + a} \over {2b}}\).

6

Bài 5.15 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a)  \({({{13} \over {24}})^{3x + 7}} = {({{24} \over {13}})^{2x + 3}}\)                                   

b) \({(4 - \sqrt {15} )^{\tan x}} + {(4 + \sqrt {15} )^{\tan x}} = 8\)

c) \({(\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } )^x} + {(\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } )^x} = 13\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình đã cho tương đương với

\({\left( {{{13} \over {24}}} \right)^{3x + 7}} = {\left( {{{13} \over {24}}} \right)^{ - \left( {2x + 3} \right)}}\)

\(\Leftrightarrow 3x + 7 = –2x – 3\Leftrightarrow x = –2\)

b) Vì  \((4 - \sqrt {15} )(4 + \sqrt {15} ) = 1\)   nên ta đặt \({(4 - \sqrt {15} )^{\tan x}} = t(t > 0)\) , ta được phương trình  

\(\;{t^2}-{\rm{ }}8t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 4 + \sqrt {15} } \cr {t = 4 - \sqrt {15} } \cr} } \right.\)

+) Ứng với \(t = 4 - \sqrt {15} \) , ta có 

\({(4 - \sqrt {15} )^{tanx}} = 4 - \sqrt {15}\)

\(\Leftrightarrow \tan  = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in Z\)

+) Ứng với \(t = 4 + \sqrt {15} \) , ta có

\({(4 - \sqrt {15} )^{tanx}} = 4 + \sqrt {15}\)

\( \Leftrightarrow \tan  =  - 1 \Leftrightarrow x =  - {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in Z\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\pi  \over 4} + k{\pi  \over 2},k \in Z\)

c) Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình. Mặt khác, hàm số 

\(f(x) = {(\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } )^x} + {(\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } )^x}\)

Là tổng của hai hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 (hai hàm số đồng biến) nên f(x) đồng biến trên R. Do đó, x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 5.16 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a)  \({5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1\)                     b) \({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\)

c) \({7^{{x^2}}}{.5^{2x}} = 7\)                           d) \({\log _4}(x + 2){\log _x}2 = 1\)

e) \({{{{\log }_3}x} \over {{{\log }_9}3x}} = {{{{\log }_{27}}9x} \over {{{\log }_{81}}27x}}\)                 f) \({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = 2\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Vì  1 = 5⁰  nên ta có \({5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1 \Leftrightarrow 6 \cos (3x + {\pi  \over 6}) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x + {\pi  \over 6} = {\pi  \over 2} + k\pi \Rightarrow  x = {\pi  \over 9} + k{\pi  \over 3}(k \in Z)\)

b)  \({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\)                   (1)

Vì  \({4^x},{6^x},{9^x}\)  đều khác 0 với mọi \(x \in R\) nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho \({4^x}\)  hoặc \({6^x}\)  hoặc \({9^x}\) , ta được phương trình tương đương.

Chia cả hai vế cho  \({6^x}\), ta có: \((1) \Leftrightarrow 6.{({2 \over 3})^x} - 13 + 6.{({3 \over 2})^x} = 0\)

Đặt\({({2 \over 3})^x} = t(t > 0)\) , ta có:

\(6t - 13 + {6 \over t} = 0 \Leftrightarrow 6{t^2} - 13t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = {3 \over 2}} \cr {t = {2 \over 3}} \cr} } \right.\)

+) Với  \(t = {2 \over 3}\) ta có  \({({2 \over 3})^x} = {2 \over 3} \Leftrightarrow x = 1\)

+) Với  \(t = {3 \over 2}\) ta có  \({({2 \over 3})^x} = {3 \over 2} \Leftrightarrow x =  - 1\)

c) Logarit hóa hai vế theo cơ số 7, ta được:

\({x^2} + 2x.{\log _7}5 - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {{\log }_7}5 - \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr {x = - {{\log }_7}5 + \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr} } \right.\)

d) \({\log _4}(x + 2).{\log _x}2 = 1\)

Điều kiện:  \(\left\{ \matrix{x + 2 > 0 \hfill \cr x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right.\)

\(1) \Leftrightarrow{1 \over 2}{\log _2}(x + 2).{1 \over {{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\log _2}(x + 2) = {\log _2}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow{x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1(loại)} \cr {x = 2} \cr} } \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

e) Điều kiện:  x > 0

Đổi sang cơ số 3 và đặt \({\log _3}x = t\) , ta được  phương trình: \({t \over {1 + t}} = {{2(2 + t)} \over {3(3 + t)}}\)

Giải phương trình ẩn t, ta được  \({t_1} = 1,{t_2} =  - 4\)

Vậy phương trình có hai nghiệm  \({x_1} = 3;{x_2} = {1 \over {81}}\)

g) Điều kiện: 

\(\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {2x - 2 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1\)

Đặt \({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = f(x)\)

Dễ thấy f(x) là hàm số đồng biến. Mặt khác  f(3) = 2 nên ta có:

f(x) > f(3) = 2 với x > 3 và f(x) < f(3) = 2 với 1 < x < 3.

Từ đó suy ra  x = 3 là nghiệm duy nhất.

Giaibaitap.me