Bài 5.13 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số:

$s(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2};c(x) = {{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2};t(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}$

Hãy chứng minh rằng:

a) ${c^2}(x) - {s^2}(x) = 1$                   

b) $s(2x) = 2s(x)c(x)$

c)   $c(2x) = 2{c^2}(x) - 1 = 2{s^2}(x) + 1 = {c^2}(x) + {s^2}(x)$  

d) $t(2x) = {{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}}$

Hướng dẫn làm bài

Với a dương và khác 1, ta có:

a)  ${c^2}(x) - {s^2}(x) = {({{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2})^2} - {({{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2})^2}$

$= {{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2 - {a^{2x}} - {a^{ - 2x}} + 2} \over 4} = {4 \over 4} = 1$

d) $t(2x) = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}$ . Mặt khác, ta có:

 $1 + {t^2}(x) = 1 + {({{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}})^2} = {{2({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2}}$

Ta biến đổi vế phải  

${{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}} = 2{{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}.{{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2} \over {2({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})}}$

$= {{2({a^x} - {a^{ - x}}){{({a^x} + {a^{ - x}})}^2}} \over {2({a^x} + {a^{ - x}})({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})}} = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}$

Bài 5.14 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Hãy biểu diễn:

a) ${\log _{30}}8$  qua  $a = {\log _{30}}3$ và $b = {\log _{30}}5$ ;

b)  ${\log _9}20$ qua $a = \log 2$  và  $b = \log 3$

Hướng dẫn làm bài

a) Ta có

${\log _{30}}8 = {\log _{30}}{2^3}$

$= 3{\log _{30}}2$

$= 3.{\log _{30}}{{30} \over {15}}$

$= 3({\log _{30}}30 - {\log _{30}}(3.5))$

$= 3(1 - {\log _{30}}3 - {\log _{30}}5) = 3(1 - a - b)$

b) Chuyển sang cơ số 10. Sau khi biến đổi, ta được ${\log _9}20 = {{1 + a} \over {2b}}$.

6

Bài 5.15 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a)  ${({{13} \over {24}})^{3x + 7}} = {({{24} \over {13}})^{2x + 3}}$                                   

b) ${(4 - \sqrt {15} )^{\tan x}} + {(4 + \sqrt {15} )^{\tan x}} = 8$

c) ${(\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } )^x} + {(\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } )^x} = 13$

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình đã cho tương đương với

${\left( {{{13} \over {24}}} \right)^{3x + 7}} = {\left( {{{13} \over {24}}} \right)^{ - \left( {2x + 3} \right)}}$

$\Leftrightarrow 3x + 7 = –2x – 3\Leftrightarrow x = –2$

b) Vì  $(4 - \sqrt {15} )(4 + \sqrt {15} ) = 1$   nên ta đặt ${(4 - \sqrt {15} )^{\tan x}} = t(t > 0)$ , ta được phương trình  

$\;{t^2}-{\rm{ }}8t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 4 + \sqrt {15} } \cr {t = 4 - \sqrt {15} } \cr} } \right.$

+) Ứng với $t = 4 - \sqrt {15}$ , ta có 

${(4 - \sqrt {15} )^{tanx}} = 4 - \sqrt {15}$

$\Leftrightarrow \tan  = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in Z$

+) Ứng với $t = 4 + \sqrt {15}$ , ta có

${(4 - \sqrt {15} )^{tanx}} = 4 + \sqrt {15}$

$\Leftrightarrow \tan  =  - 1 \Leftrightarrow x =  - {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in Z$

Vậy phương trình có nghiệm $x = {\pi  \over 4} + k{\pi  \over 2},k \in Z$

c) Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình. Mặt khác, hàm số 

$f(x) = {(\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } )^x} + {(\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } )^x}$

Là tổng của hai hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 (hai hàm số đồng biến) nên f(x) đồng biến trên R. Do đó, x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 5.16 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a)  ${5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1$                     b) ${6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0$

c) ${7^{{x^2}}}{.5^{2x}} = 7$                           d) ${\log _4}(x + 2){\log _x}2 = 1$

e) ${{{{\log }_3}x} \over {{{\log }_9}3x}} = {{{{\log }_{27}}9x} \over {{{\log }_{81}}27x}}$                 f) ${\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = 2$

Hướng dẫn làm bài:

a) Vì  1 = 5⁰  nên ta có ${5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1 \Leftrightarrow 6 \cos (3x + {\pi  \over 6}) = 0$

$\Leftrightarrow 3x + {\pi  \over 6} = {\pi  \over 2} + k\pi \Rightarrow  x = {\pi  \over 9} + k{\pi  \over 3}(k \in Z)$

b)  ${6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0$                   (1)

Vì  ${4^x},{6^x},{9^x}$  đều khác 0 với mọi $x \in R$ nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho ${4^x}$  hoặc ${6^x}$  hoặc ${9^x}$ , ta được phương trình tương đương.

Chia cả hai vế cho  ${6^x}$, ta có: $(1) \Leftrightarrow 6.{({2 \over 3})^x} - 13 + 6.{({3 \over 2})^x} = 0$

Đặt${({2 \over 3})^x} = t(t > 0)$ , ta có:

$6t - 13 + {6 \over t} = 0 \Leftrightarrow 6{t^2} - 13t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = {3 \over 2}} \cr {t = {2 \over 3}} \cr} } \right.$

+) Với  $t = {2 \over 3}$ ta có  ${({2 \over 3})^x} = {2 \over 3} \Leftrightarrow x = 1$

+) Với  $t = {3 \over 2}$ ta có  ${({2 \over 3})^x} = {3 \over 2} \Leftrightarrow x =  - 1$

c) Logarit hóa hai vế theo cơ số 7, ta được:

${x^2} + 2x.{\log _7}5 - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {{\log }_7}5 - \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr {x = - {{\log }_7}5 + \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr} } \right.$

d) ${\log _4}(x + 2).{\log _x}2 = 1$

Điều kiện:  $\left\{ \matrix{x + 2 > 0 \hfill \cr x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right.$

$1) \Leftrightarrow{1 \over 2}{\log _2}(x + 2).{1 \over {{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\log _2}(x + 2) = {\log _2}{x^2}$

$\Leftrightarrow{x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1(loại)} \cr {x = 2} \cr} } \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

e) Điều kiện:  x > 0

Đổi sang cơ số 3 và đặt ${\log _3}x = t$ , ta được  phương trình: ${t \over {1 + t}} = {{2(2 + t)} \over {3(3 + t)}}$

Giải phương trình ẩn t, ta được  ${t_1} = 1,{t_2} =  - 4$

Vậy phương trình có hai nghiệm  ${x_1} = 3;{x_2} = {1 \over {81}}$

g) Điều kiện: 

$\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {2x - 2 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1$

Đặt ${\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = f(x)$

Dễ thấy f(x) là hàm số đồng biến. Mặt khác  f(3) = 2 nên ta có:

f(x) > f(3) = 2 với x > 3 và f(x) < f(3) = 2 với 1 < x < 3.

Từ đó suy ra  x = 3 là nghiệm duy nhất.

Giaibaitap.me