Bài 5.17 trang 222 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các bất phương trình sau:

a)  \({({1 \over 2})^{{{\log }_{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1)}} < 1\)                             

b)  \(4{x^2} + {3.3^{\sqrt x }} + x{.3^{\sqrt x }} < 2{x^2}{.3^{\sqrt x }} + 2x + 6\)

c)  \({\log _x}4.{\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \ge 2\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Điều kiện   \(\left[ {\matrix{{x > {{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \cr {x < {{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \cr} } \right.\)

Vì  \(0 < {1 \over 2} < 1\) và  \(1 = {({1 \over 2})^0}\)  nên ta có:

\({({1 \over 2})^{{{\log }_{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1)}} < 16\)

\(\Leftrightarrow  {\log _{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1) > 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 < 1 \Leftrightarrow  0 < x < 3\)

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left[ {\matrix{{0 < x < {{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \cr {{{3 + \sqrt 5 } \over 2} < x < 3} \cr} } \right.\)

b) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với

\(4{x^2} + {3.3^{\sqrt x }} + x{.3^{\sqrt x }} - 2{x^2}{.3^{\sqrt x }} - 2x - 6 < 0\)

\(\Leftrightarrow (3 + x - 2{x^2}){3^{\sqrt x }} - 2(x - 2{x^2} + 3) < 0\)

\(\Leftrightarrow ( - 2{x^2} + x + 3)({3^{\sqrt x }} - 2) < 0\)

\(\Leftrightarrow  \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{{3^{\sqrt x }} - 2 < 0} \cr { - 2{x^2} + x + 3 > 0} \cr {x \ge 0} \cr}\,\,\,\, (1)} \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{{3^{\sqrt x }} - 2 > 0} \cr { - 2{x^2} + x + 3 < 0} \cr {x \ge 0} \cr}\,\,\,\, (2)} \right.} \cr} } \right.\)

\((1) \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x < \log _3^22} \cr {x \ge 0} \cr { - 1 < x < {3 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow 0 \le x < \log _3^22\)  (vì \(\log _3^22 < 1 < {3 \over 2}\))

\((2) \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{x > \log _3^22} \cr {x \ge 0} \cr {\left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {x > {3 \over 2}} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow  x > {3 \over 2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là  \(0 \le x < \log _3^22\)  hoặc \(x > {3 \over 2}\)

c) Điều kiện: \(\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {x \ne 1} \cr {{{5 - 12x} \over {12x - 8}} > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow  {5 \over {12}} < x < {2 \over 3}\,\,\,\,(*)\)

Bất phương trình đã cho tương đương với

\({2 \over {{{\log }_2}x}}.{\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \ge 2 \Leftrightarrow  {\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \le {\log _2}x\) 

(vì khi \(x \in ({5 \over {12}};{2 \over 3})\)  thì \({\log _2}x < 0\) )

\( \Leftrightarrow  {{5 - 12x} \over {12x - 8}} - x \le 0\)

\(\Leftrightarrow  {{(6x + 5)(1 - 2x)} \over {12x - 8}} \le 0\)

\(\left[ {\matrix{{ - {5 \over 6} \le x \le {1 \over 2}} \cr {x > {2 \over 3}} \cr} } \right.\).

Kết hợp với điều kiện  (*), ta có \({5 \over {12}} < x \le {1 \over 2}\)

Bài 5.18 trang 222 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các bất phương trình sau:

a) \({(0,5)^{{1 \over x}}} \ge 0,0625\)                 

b) \({\log _{0,2}}({x^2} - 4) \ge  - 1\)

c) \({\log _2}{\log _{0,5}}({2^x} - {{15} \over {16}}) \le 2\)       

d) \({\log _3}({16^x} - {2.12^x}) \le 2x + 1\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Bất phương trình đã cho tương đương với

\({({1 \over 2})^{{1 \over x}}} \ge {1 \over {16}} \Leftrightarrow  {({1 \over 2})^{{1 \over x}}} \ge {({1 \over 2})^4}\)

\(\Leftrightarrow  {1 \over x} \le 4 \Leftrightarrow  {1 \over x} - 4 \le 0 \Leftrightarrow  {{1 - 4x} \over x} \le 0 \Leftrightarrow  \left[ {\matrix{{x \ge {1 \over 4}} \cr {x < 0} \cr} } \right.\)

b) Điều kiện:  \(\left[ {\matrix{{x > 2} \cr {x < - 2} \cr} } \right.\)

Bất phương trình đã cho tương đương với

\({\log _{0,2}}({x^2} - 4) \ge {\log _{0,2}}0,{2^{ - 1}} = {\log _{0,2}}5\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4 \le 5\) (vì 0,2 < 1)  \( \Leftrightarrow {x^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3\)

Kết hợp với điều kiện, ta được  \(\left[ {\matrix{{2 < x \le 3} \cr { - 3 \le x < - 2} \cr} } \right.\)

c) Bất phương trình đã cho tương đương với  \(0 < {\log _{0,5}}({2^x} - {{15} \over {16}}) \le 4\)

\( \Leftrightarrow  1 > {2^x} - {{15} \over {16}} \ge 0,{5^4}\)

\(\Leftrightarrow {{31} \over {16}} > {2^x} \ge 1\)

\(\Leftrightarrow  {\log _2}{{31} \over {16}} > x \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 0 \le x < {\log _2}31 - 4\)

 Ở đây, chúng ta đã áp dụng tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số logarit và hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1.

d) Bất phương trình đã cho tương đương với  \(0 < {16^x} - {2.12^x} \le {3^{2x + 1}}\)

\(\Leftrightarrow  0 < {4^x}{.4^x} - {2.4^x}{.3^x} \le {3^x}{.3^x}.3\)

\(\Leftrightarrow 0 < {({4 \over 3})^{2x}} - 2{({4 \over 3})^x} \le 3\)                (1)

(Ta đã chia cả hai vế cho \({9^x}\;\left( {{9^x} > {\rm{ }}0{\rm{ }}} \right)\))

Đặt \({({4 \over 3})^x} = t(t > 0)\) , ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\matrix{{{t^2} - 2t \le 3} \cr {{t^2} - 2t > 0} \cr {t > 0} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{t > 0} \cr {{t^2} - 2t - 3 \le 0} \cr {{t^2} - 2t > 0} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{t > 0} \cr { - 1 \le t \le 3} \cr {\left[ {\matrix{{t > 2} \cr {t < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow  2 < t \le 3\)

Từ đó, ta có  \(2 < {({4 \over 3})^x} \le 3 <  =  > {\log _{{4 \over 3}}}2 < x \le {\log _{{4 \over 3}}}3\).

6

Bài 5.19 trang 222 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {{{({{x - 2} \over {x + 3}})}^2}dx} \) (đặt t  = x  +3)    

b) \(\int\limits_{ - 4}^6 {(|x + 3| - |x - 4|)dx} \)

c) \(\int\limits_{ - 3}^2 {{{dx} \over {\sqrt {x + 7}  + 3}}} \)    (đặt \(t = \sqrt {x + 7} \)  hoặc \(t = \sqrt {x + 7}  + 3\) )

d) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos x} \over {1 + 4\sin x}}} dx\)                    

e)\(\int\limits_1^2 {{{{x^9}} \over {{x^{10}} + 4{x^5} + 4}}dx} \)   (đặt t = x⁵)

g) \(\int\limits_0^3 {(x + 2){e^{2x}}dx} \)                                           

h) \(\int\limits_2^5 {{{\sqrt {4 + x} } \over x}dx} \) (đặt \(t = \sqrt {4 + x} \) )

Hướng dẫn làm bài:

a) Đổi biến \( t = x + 3  \Rightarrow  x – 2 = t – 5\) . Khi x = - 2 thì t = 1, khi x = 4 thì t = 7, ta có:

\(\int\limits_{ - 2}^4 {{{({{x - 2} \over {x + 3}})}^2}dx = \int\limits_1^7 {(1 - {{10} \over t} + {{25} \over {{t^2}}}} } )dt\)

\(= (t - 10\ln t - {{25} \over t})\left| {\matrix{7 \cr 1 \cr} } \right. = 27{3 \over 7} - 10\ln 7\)

b)\(\int\limits_{ - 4}^6 {(|x + 3| - |x - 4|)dx}\)

\( =  - 7\int\limits_{ - 4}^{ - 3} {dx}  + \int\limits_{ - 3}^4 {(2x - 1)dx}  + \int\limits_4^6 {7dx}  = 7\)

c) Đổi biến \(t = \sqrt {x + 7} \)  , ta có \(I = \int\limits_2^3 {{{2tdt} \over {t + 3}}}  = 2 - 6\ln 1,2\)

Nếu đổi biến \(t = \sqrt {x + 7}  + 3\)  thì ta có \(I = \int\limits_5^6 {(2 - {6 \over t})dt} \)

d) Đổi biến \(t = 1 + 4\sin x\)  , ta có \(I = {1 \over 4}\int\limits_1^5 {{{dt} \over t}}  = {1 \over 4}\ln 5\)

e) Đổi biến \(t = {x^5}\)

\(\eqalign{
& I = {1 \over 5}\int\limits_1^{32} {{{tdt} \over {{t^2} + 4t + 4}}} \cr 
& = {1 \over 5}\int\limits_1^{32} {{{(t + 2 - 2)dt} \over {{{(t + 2)}^2}}}} \cr 
& = {1 \over 5}\int\limits_1^{32} {{\rm{[}}{1 \over {t + 2}} - {2 \over {{{(t + 2)}^2}}}{\rm{]}}dt} \cr 
& = {1 \over 5}\left[ {\ln (t + 2) + {2 \over {t + 2}}} \right]\left| {\matrix{{32} \cr 1 \cr} = {1 \over 5}(\ln {{34}\over 3} - {{31} \over {51}})} \right. \cr} \)

g) Đặt   \(u = x + 2,dv = {e^{2x}}dx \Rightarrow du = dx,v = {1 \over 2}{e^{2x}}\)

Ta có  \(I = {1 \over 2}(x + 2){e^{2x}}\left| {\matrix{3 \cr 0 \cr} } \right. - {1 \over 2}\int\limits_0^3 {{e^{2x}}} dx\)

\(= {1 \over 2}(5{e^6} - 2) - {1 \over 4}({e^6} - 1) = {3 \over 4}(3{e^6} - 1)\)

h) Đổi biến  \(t = \sqrt {4 + x} \)

\(I = 2\int\limits_{\sqrt 6 }^3 {(1 + {1 \over {t - 2}} - {1 \over {t + 2}})dt}\)

\(= 2(t + \ln {{t - 2} \over {t + 2}})\left| {\matrix{3 \cr {\sqrt 6 } \cr} } \right. \)

\(= 2[3 - \sqrt 6 - \ln (25 - 10\sqrt 6 ){\rm{]}}\)

Bài 5.20 trang 222 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính:

a) \(\int\limits_{ - 1}^2 {(5{x^2} - x + {e^{0,5x}})dx} \)     

b) \(\int\limits_{0,5}^2 {(2\sqrt x  - {3 \over {{x^3}}} + \cos x)dx} \)

c) \(\int\limits_1^2 {{{dx} \over {\sqrt {2x + 3} }}} \)   (đặt \(t = \sqrt {2x + 3} \) )     

d) \(\int\limits_1^2 {\root 3 \of {3{x^3} + 4} {x^2}dx} \)  (đặt \(t = \root 3 \of {3{x^3} + 4} \))

e) \(\int\limits_{ - 2}^2 {(x - 2)|x|dx} \)

g) \(\int\limits_1^0 {x\cos xdx} \)                                       

h)\(\int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 2}} {{{1 + \sin 2x + \cos 2x} \over {\sin x + \cos x}}} dx\)

i) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{e^x}\sin xdx} \)                                   

k) \(\int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \)

Hướng dẫn làm bài

a) Đáp số: \(13{1 \over 2} + 2(e - {1 \over {\sqrt e }})\)

b) Đáp số: \({{7\sqrt 2 } \over 3} - 5{5 \over 8} + \sin 2 - \sin {1 \over 2}\)

c) Đáp số: \(\sqrt 7  - \sqrt 5 \)

d) Đổi biến  \(t = \root 3 \of {3{x^3} + 4} \)

\(\Rightarrow {t^3} = 3{x^3} + 4 \Rightarrow 3{t^2}dt = 9{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {1 \over 3}{t^2}dt\)

Ta có 

\(\eqalign{
& \int\limits_1^2 {\root 3 \of {3{x^3} + 4} } {x^2}dx = {1 \over 3}\int\limits_{\root 3 \of 7 }^{\root 3 \of {28} } {{t^3}dt} \cr & = {1 \over {12}}{t^4}\left| {\matrix{{\root 3 \of {28} } \cr {\root 3 \of 7 } \cr} } \right. = {{7\root 3 \of 7 (4\root 3 \of 4 - 1)} \over {12}} \cr} \)

e) 

\(\eqalign{
& \int\limits_{ - 2}^2 {(x - 2)|x|dx} \cr 
& = \int\limits_{ - 2}^0 {(2x - {x^2})dx + \int\limits_0^2 {({x^2} - 2x)dx} } \cr 
& = - {{20} \over 3} - {4 \over 3} = - 8 \cr} \)

g) 

\(\eqalign{& \int\limits_1^0 {x\cos xdx = x\sin x\left| {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \right.} - \int\limits_1^0 {\sin xdx} \cr & = - \sin 1 + \cos x\left| {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \right. = 1 - (\sin 1 + \cos 1) \cr} \)

h) Ta có:  

\(\eqalign{
& 1 + \sin 2x + \cos 2x \cr 
& = 1 + 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 \cr 
& = 2\cos x(\sin x + \cos x) \cr} \)

Từ đó, ta có đáp số là 1.

i) Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần hai lần, cả hai lần đều đặt \({e^x}dx = dv \Rightarrow v = {e^x}\) . Ta có:

\(\eqalign{& I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^x}\sin x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. - \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{e^x}\cos xdx} \cr & = {e^{{\pi \over 2}}} - \left[ {{e^x}\cos x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} + \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{e^x}\sin xdx} } \right.} \right] \cr & = {e^{{\pi \over 2}}} + 1 - I \cr & \Rightarrow I = {{{e^{{\pi \over 2}}} + 1} \over 2} \cr} \)

k) Lấy tích phân theo phương pháp tính tích phân từng phầ;n hai lần: lần thứ nhất  đặt \(u = {\ln ^2}x\) , lần thứ hai đặt  \(u = \ln x\) và có đáp số là \({1 \over {27}}(5{e^3} - 2)\).

Giaibaitap.me