Bài 3.5 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Hướng dẫn làm bài:

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA² = (1 – x)² + 1 + (1 – z)²

MB² = (–1 – x)² + 1 + z²

MC² = (3 – x)² + 1 + (–1 – z)²

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có  MA² = MB² = MC²

Từ đó ta tính được \(M({5 \over 6};0; - {7 \over 6})\)

Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overline {BC} \)                                   

b)\(\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + {1 \over 2}\overrightarrow {AD}  + {1 \over 2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} \)

            \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \)   

Do đó: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)  vì \(\overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {CD} \)

b) Vì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)  và \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD} \) nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Do đó: \(2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {DB} \)

Vậy  \(\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + {1 \over 2}\overrightarrow {AD}  + {1 \over 2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Bài 3.7 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)                         

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {QN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CD} \)  và \(\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {PN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \).

Do đó  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)  hay \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)        (1)

Mặt khác  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)

            \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} \)     

Nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)            (2)

Vì  \(\overrightarrow {DB}  =  - \overrightarrow {BD} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  - \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} - {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)

Do đó: \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} \)         (3)

Mặt khác:  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \)

                \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {BC} \)  

Nên \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD} \)             (4)

Vì \(\overrightarrow {CB}  - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) . Gọi \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  - \overrightarrow c ,\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow c  - 3\overrightarrow a \) .

Chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \)  đồng phẳng.

Hướng dẫn làm bài:

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto  \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \)  đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \).

Giả sử có \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \)

\(2\overrightarrow c  - 3\overrightarrow a  = p(\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b  - \overrightarrow c )\)

\(\Leftrightarrow  (3 + p)\overrightarrow a  + (3q - 2p)\overrightarrow b  - (q + 2)\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \)     (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\matrix{{3 + p = 0} \cr {3q - 2p = 0} \cr {q + 2 = 0} \cr} } \right. \Rightarrow  \left\{ {\matrix{{p = - 3} \cr {q = - 2} \cr} } \right.\)

Như vậy ta có:  \(\overrightarrow {\rm{w}}  =  - 3\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v \)  nên ba vecto  \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.

Giaibaitap.me