Bài 3.17 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:

a) \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\overrightarrow n  = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến;

b) \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\overrightarrow u  = (0;1;1),\overrightarrow v  = ( - 1;0;2)\);

c) \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình  \((\alpha )\) có dạng:  (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0  hay x + y + z – 3 = 0

b) Hai vecto có giá song song với mặt phẳng  \((\alpha )\)   là: \(\overrightarrow u  = (0;1;1)\) và \(\overrightarrow v  = ( - 1;0;2)\).

Suy ra  \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow u  \wedge \overrightarrow v  = (2; - 1;1)\)

Mặt phẳng  \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n  = (2; - 1;1)\)  là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2(x – 1) – y  +z = 0  hay 2x – y + z – 2 = 0

c) Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow {MN}  = (3;2;1)\)  và \(\overrightarrow {MP}  = (4;1;0)\)

Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {MN}  \wedge \overrightarrow {MP}  = ( - 1;4; - 5)\)

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là:  -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 

hay x – 4y + 5z – 2 = 0

Bài 3.18 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).

Hướng dẫn làm bài

Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IB}  = (1;4; - 1)\) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.

Bài 3.19 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)

a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 4;5; - 1)\)  và \(\overrightarrow {AC}  = (0; - 1;1)\) suy ra \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AC}  = (4;4;4)\)

Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (4;4;4)\)  hoặc \(\overrightarrow n ' = (1;1;1)\)

Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0 

hay x + y + z – 9 =0

b) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên \((\alpha )\) cũng có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n ' = (1;1;1)\)

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0  hay x + y + z – 10 = 0.

Bài 3.20 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.

Hướng dẫn làm bài

Mặt phẳng \((\alpha )\) song song với mặt phẳng \((\beta )\)  : x  + y + 2z – 7 = 0

Vậy phương trình của \((\alpha )\) có dạng : x + y + 2z + D = 0

\((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0.

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là  x + y + 2z = 0.

Giaibaitap.me