Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}}\)

b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}}\)

c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}}\)

Giải:

a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {\cos 2x.\sin 5x}} \)

     \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {2x}}.{1 \over {\cos 2x.{{\sin 5x} \over {5x}}}}.{2 \over 5} = {2 \over 5}\)

b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{\sin }^2}x} \over {2x\sin x\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over {2x\cos x}} = {1 \over 2}\)

c.

\(\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\sin^2 {x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {2{{\sin }^2}{x \over 2} - 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}}} =  - 1 \cr} \)

Câu 29 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a. \(y = 5\sin x - 3\cos x\)

b. \(y = \sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

c. \(y = \cos \sqrt {2x + 1} \)

d. \(y = 2\sin 3x\cos 5x\)

e. \(y = {{\sin x + \cos x} \over {\sin x - \cos x}}\)

f. \(y = \sqrt {\cos 2x} \)

Giải:

a. \(y' = 5\cos x + 3\sin x\)

b. \(y' = \left( {2x - 3} \right)\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

c. \(y' = {2 \over {2\sqrt {2x + 1} }}\left( { - \sin \sqrt {2x + 1} } \right) = {{ - \sin \sqrt {2x + 1} } \over {\sqrt {2x + 1} }}\)

d. \(y = \sin 8x - \sin 2x \Rightarrow y' = 8\cos 8x - 2\cos 2x\)

e. \(y' = {{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) - {{\left( {\cos x + \sin x} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}} = {{ - 2} \over {{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\)

f. \(y' = {{ - 2\sin 2x} \over {2\sqrt {\cos 2x} }} = {-{\sin 2x} \over {\sqrt {\cos 2x} }}\)

Câu 30 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) có đạo hàm bằng 0.

Giải

Ta có:

\(\eqalign{  & y = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;+ 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x  \cr  &  = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^4}x  \cr  &  = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 1  \cr  &  \Rightarrow y' = 0 \cr} \)

Câu 31 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a. \(y = \tan {{x + 1} \over 2}\)

b. \(y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \)

c. \(y = {\tan ^3}x + \cot 2x\)

d. \(y = \tan 3x - \cot 3x\)

e. \(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \)

f. \(y = x\cot x\)

Giải:

a. \(y' = {1 \over {2{{\cos }^2}{{x + 1} \over 2}}}\)

b. \(y' = {{ - x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 \over {{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

c. \(y' = {{3{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - {2 \over {{{\sin }^2}2x}}\)

d. \(y' = {3 \over {{{\cos }^2}3x}} + {3 \over {{{\sin }^2}3x}} = {{12} \over {{{\sin }^2}6x}}\)

e. \(y' = {1 \over {{\sqrt {1 + 2\tan x}.{\cos }^2}x }}\)

f. \(y' = \cot x - {x \over {{{\sin }^2}x}}\)

Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

a. Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức \(y' - {y^2} - 1 = 0\)

b. Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\)

Giải:

a. \(y' = 1 + {\tan ^2}x.\) Do đó \(y' - {y^2} - 1 = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x - 1 = 0\)

b. \(y' =  - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)\). Do đó \(y' + 2{y^2} + 2 =  - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right) + 2{\cot ^2}2x + 2 = 0\)

Câu 33 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :

a. \(y = {{\sin x} \over x} + {x \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}\)

b. \(y = {{{{\sin }^2}x} \over {1 + \tan 2x}}\)

c. \(y = \tan \left( {\sin x} \right)\)

d. \(y = x\cot \left( {{x^2} - 1} \right)\)

e. \(y = {\cos ^2}\sqrt {{\pi  \over 4} - 2x} \)

f. \(y = x\sqrt {\sin 3x} \)

Giải:

a.

 \(\eqalign{  & y' = {{x\cos x - \sin x} \over {{x^2}}} + {{\sin x - x\cos x} \over {{{\sin }^2}x}}  \cr  &  = \left( {x\cos x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)\left( {{1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right) \cr} \)

b.

\(\eqalign{  & y' = {{2\sin x\cos x\left( {1 + \tan 2x} \right) - {{\sin }^2}x.2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}}  \cr  &  = {{\sin 2x} \over {\left( {1 + \tan 2x} \right)}} - {{2{{\sin }^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}} \cr} \)

c. \(y' = {{\cos x} \over {{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right)}}\)

d.

\(\eqalign{  & y' = \cot \left( {{x^2} - 1} \right) + x.{{ - 2x} \over {{{\sin }^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}  \cr  &  = \cot \left( {{x^2} - 1} \right) - {{2{x^2}} \over {{{\sin }^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr} \)

e.

\(\eqalign{  & y = {1 \over 2}\left( {1 + \cos 2\sqrt {{\pi  \over 4} - 2x} } \right)  \cr  & y' =  - {1 \over 2}. \sin 2\sqrt {{\pi  \over 4} - 2x} .\,2{{ - 2} \over {2\sqrt {{\pi  \over 4} - 2x} }} = {{2\sin \sqrt {\pi  - 8x} } \over {\sqrt {\pi  - 8x} }} \cr} \)

f. \(y' = \sqrt {\sin 3x}  + x.{{3\cos 3x} \over {2\sqrt {\sin 3x} }} = {{2\sin 3x + 3x\cos 3x} \over {2\sqrt {\sin 3x} }}\)  

Câu 34 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính \(f'\left( \pi  \right)\) nếu \(f\left( x \right) = {{\sin x - x\cos x} \over {\cos x - x\sin x}}\)

Giải:

Với mọi x sao cho \(\cos x - x\sin x \ne 0,\) ta có:

\(f'\left( x \right) = {{\left[ {\cos x - \left( {\cos x - x\sin x} \right)} \right]\left( {\cos x - x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right)\left[ { - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right)} \right]} \over {{{\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - xsinx} \right)}^2}}}\)

Vì \(\sin \pi  = 0,\cos \pi  =  - 1\) nên : \(f'\left( \pi  \right) = {{\left[ { - 1 - \left( { - 1} \right)} \right].\left( { - 1} \right) - \pi .\pi } \over {{{\left( { - 1} \right)}^2}}} =  - {\pi ^2}\)

Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :

a. y = sin2x - 2cosx

b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x

c. \(y = {\cos ^2}x + \sin x\)

d. \(y = \tan x + \cot x\)

Giải:

a. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:

\(y' = 2\cos 2x + 2\sin x = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\)

     \(=-4{{\sin }^2}x+2\sin x+2\)

Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin x = 1}  \cr   {\sin x = -{1 \over 2}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 2} + k2\pi }  \cr   {x =  - {\pi  \over 6} + k2\pi }  \cr   {x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi }  \cr  }\left( {k \in \mathbb Z} \right) } \right.\)

b. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10\)

Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow 4\sin 2x - 3\cos 2x = 5\)

\( \Leftrightarrow {4 \over 5}\sin 2x - {3 \over 5}\cos 2x = 1\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \({\left( {{4 \over 5}} \right)^2} + {\left( {{3 \over 5}} \right)^2} = 1\) nên có số \(α\) sao cho \(\cos \alpha  = {4 \over 5}\,\text{ và }\,\sin \alpha  = {3 \over 5}\)

Thay vào (1), ta được :

\(\eqalign{  & \sin 2x\cos \alpha  - sin\alpha cos2x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = 1  \cr  &  \Leftrightarrow 2x - \alpha  = {\pi  \over 2} + k2\pi   \cr  &  \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {\alpha  + {\pi  \over 2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

c. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' =  - 2\cos x{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + cosx = cosx\left( {1 - 2\sin x} \right)\)

\(\eqalign{  & y' = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   { \cos x = 0 }  \cr   {1 - 2\sin x = 0 }  \cr  } } \right.   \cr  & \Leftrightarrow  \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 2} + k\pi}  \cr   {{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 6} + k2\pi }  \cr   {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi }  \cr  } } \right. }  \cr  } } \right.  \cr} \)

Vậy \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ;x = {\pi  \over 6} + k2\pi ;x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

d.

\(\eqalign{  & y' = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\,\forall\,x \ne k{\pi  \over 2}  \cr  & y' = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow \tan x =  \pm 1 \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr} \)

Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Giải:

Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:

\(f'\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left( {4x - 1} \right)} \right]4 =  - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)\)

Suy ra: \(\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x - 1} \right)} \right| \le 8\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

\(\eqalign{  & \sin 2\left( {4x - 1} \right) =  \pm 1  \cr  &  \Leftrightarrow 2\left( {4x - 1} \right) = {\pi  \over 2} + k\pi   \cr  &  \Leftrightarrow x = {\pi  \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi  + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

Câu 37 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho mạch điện như hình 5.7. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q₀. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây ; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức \(q\left( t \right) = {Q_0}\sin \omega t.\) Trong đó, ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức \(I\left( t \right) = q'\left( t \right)\) Cho biết \({Q_0} = {10^{ - 8}}\,\text{ và }\,\omega  = {10^6}\pi \,rad/s.\) Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến 10^-5 mA)

Giải

Cường độ dòng điện tại thời điểm t là :

\(I\left( t \right) = q'\left( t \right) = {Q_0}\omega \cos \omega t\)

Khi \({Q_0} = {10^{ - 8}}C\,\text{ và }\,\omega  = {10^6}\pi \,rad/s\) thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là :

\(I\left( 6 \right) = {10^{ - 8}}{.10^6}\pi .\cos \left( {{{10}^6}\pi .6} \right) = {\pi  \over {100}}\left( A \right) \approx 31,41593\,\left( {mA} \right)\)

Câu 38 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số \(y = {\cos ^2}x + m\sin x\) (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:

a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ \(x = π\) có hệ số góc bằng 1

b. Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ \(x =  - {\pi  \over 4}\)  và \(x = {\pi  \over 3}\) song song hoặc trùng nhau.

Giải

Đặt \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + m\sin x,\) ta có :

\(f'\left( x \right) =  - \sin 2x + m\cos x\)

a. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x = π\) là :

\(\eqalign{  & f'\left( \pi  \right) =  - \sin 2\pi  + m\cos \pi  =  - m  \cr  & \text{Vậy}\,f'\left( \pi  \right) = 1 \Leftrightarrow m =  - 1 \cr} \)

b. Theo đề bài, ta có :

\(\eqalign{  & f'\left( { - {\pi  \over 4}} \right) = f'\left( {{\pi  \over 3}} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow  - \sin \left( { - {\pi  \over 2}} \right) + m\cos \left( { - {\pi  \over 4}} \right) =  - \sin {{2\pi } \over 3} + m\cos {\pi  \over 3}  \cr  &  \Leftrightarrow 1 + m{{\sqrt 2 } \over 2} =  - {{\sqrt 3 } \over 2} + {m \over 2} \Leftrightarrow m = {{\sqrt 3  + 2} \over {1 - \sqrt 2 }} \cr} \)

Giaibaitap.me