Câu 39 trang 215 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính vi phân của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) tại điểm \(x = {\pi  \over 3}\) ứng với ∆x = 0,01 ; ∆x = 0,001.

Giải:

\(\eqalign{  & df\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x.\,\text{ Ta có }\,f'\left( x \right) = 2\cos 2x  \cr  & df\left( {{\pi  \over 3}} \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\Delta x =  - \Delta x \cr} \)

Với \(\Delta x = 0,01\,\text{ thì }\,df\left( {{\pi  \over 3}} \right) =  - 0,01\)

Với \(\Delta x = 0,001\,\text{ thì }\,df\left( {{\pi  \over 3}} \right) =  - 0,001\)

Câu 40 trang 216 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính vi phân của các hàm số sau :

a. \(y = {{\sqrt x } \over {a + b}}\) (a và b là các hằng số)

b. \(y = xsinx\)

c. \(y = {x^2} + {\sin ^2}x\)

d. \(y = {\tan ^3}x\)

Giải:

a. Ta có: \(y' = {1 \over {2\left( {a + b} \right)\sqrt x }} \Rightarrow dy = {1 \over {2\left( {a + b} \right)\sqrt x }}dx\)

b. \(y' = \sin x + x\cos x\)

\(\Rightarrow dy = y'dx = \left( {\sin x + x\cos x} \right)dx\)

c. \(dy = y'dx = \left( {2x + \sin 2x} \right)dx\)

d. \(dy = y'dx = 3{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\)

Câu 41 trang 216 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Áp dụng công thức (2), tìm giá trị gần đúng của các số sau (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

a. \({1 \over {0,9995}}\)

b. \(\sqrt {0,996} \)

c. \(\cos 45^\circ 30'\)

Giải:

a. Xét hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over x},\,\text{ ta có }\,f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {{x^2}}}\)

Đặt \({x_0} = 1,\Delta x =  - 0,0005\) và áp dụng công thức gần đúng

\(f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)

Ta được : \({1 \over {{x_0} + \Delta x}} \approx {1 \over {{x_0}}} - {1 \over {x_0^2}}.\Delta x,\)

Hay : \({1 \over {0,9995}} \approx 1 + 0,0005 = 1,0005\)

b. Xét

\(\eqalign{  & f\left( x \right) = \sqrt x \,\text{ ta có }\,f'\left( x \right) = {1 \over {2\sqrt x }}  \cr  & {x_0} = 1,\Delta x =  - 0,004  \cr  & f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x  \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt {0,996}  \approx 1 - {1 \over 2}.0,004 = 0,998 \cr} \)

c. Xét hàm số \(f(x) = \cos x\), ta có: \(f'\left( x \right) =  - \sin x.\)

Đặt \({x_0} = {\pi  \over 4},\Delta x = {\pi  \over {360}}\)

(Vì \({\pi  \over {360}} = 30'\) ) và áp dụng công thức gần đúng trên, ta được :

  \(\eqalign{  & \cos \left( {{\pi  \over 4} + {\pi  \over {360}}} \right) \approx \cos {\pi  \over 4} - \sin \left( {{\pi  \over 4}} \right).{\pi  \over {360}}  \cr  & \text{Vậy }\,\cos 45^\circ 30' \approx {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{\pi  \over {360}} \approx 0,7009 \cr} \)

Giaibaitap.me