Câu 6 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau :

a. \({\tan ^2}x + 3 = {3 \over {\cos x}}\)

b. \({\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}\)

c. \(\tan x + \tan 2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}}\)

Giải:

a. Đặt \(t = {1 \over {\cos x}}\left( {x \ne {\pi  \over 2} + k\pi } \right)\)

Ta có:

\(\eqalign{  & 2\left( {{t^2} - 1} \right) + 3 = 3t \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {t = 1}  \cr   {t = {1 \over 2}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos x = 1}  \cr   {\cos x = 2\,\left( \text{loại} \right)}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi  \cr} \)

b. Điều kiện : \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \)

\(\eqalign{  & {\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \Leftrightarrow {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - {{\sin }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - \sin x}} = 1 + \cos x \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos x  =  - 1}  \cr   {1 - \cos x = 1 - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos x =  - 1}  \cr   {\tan x = 1}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x =  \pi  + k2\pi }  \cr   {x = {\pi  \over 4} + k\pi }  \cr  }\left( {k \in\mathbb Z} \right) } \right. \cr} \)

c. Điều kiện \(\cos x \ne 0,\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {\cos x \ne 0}  \cr   {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  \ne  \pm {1 \over {\sqrt 2 }}}  \cr  } } \right.\)

\(\eqalign{  & {\mathop{\rm tanx}\nolimits}  + tan2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = {{\sin 3x} \over {\cos x}}  \cr  &  \Leftrightarrow \sin 3x = sin3xcos2x \Leftrightarrow sin3x\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin 3x = 0}  \cr   {\cos 2x = 1}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin 3x = 0}  \cr   {\sin x = 0}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x = k{\pi  \over 3},k \in\mathbb  Z \cr} \)

Câu 7 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một toa tàu nhỏ có 3 toa khách đỗ ở sân ga. Có 3 hành khách bước lên tàu. Hỏi :

a. Có bao nhiêu khả năng trong đó 3 hành khách lên 3 toa khách nhau ?

b. Có bao nhiêu khả năng trong đó 2 hành khách cùng lên một toa, còn hành khách thứ ba thì lên toa khác ?

Giải:

a. Mỗi cách xếp 3 người vào 3 toa, mỗi toa một người là một hoán vị của tập hợp 3 hành khách. Vậy có 3! = 6 khả năng.

b. Có \(C_3^2 = 3\) cách chọn hai hành khách đi chung toa. Với mỗi cách ấy lại có 3 cách chọn toa tàu cho họ. Vậy có 3.3 = 9 cách chọn hai hành khách và toa tàu cho họ đi chung. Mỗi cách ấy, hành khách thứ ba có thể chọn một trong hai toa tàu còn lại. Áp dụng qui tắc nhân, ta có 9.2 = 18 khả năng có thể xảy ra.

Câu 8 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,3,...,n} \right\}\) với \(n \in\mathbb N, n > 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp (x ; y) với x ϵ A, y ϵ A và x > y ?

Giải:

Với hai phần tử x và y của A sao cho x > y, ta chỉ lập được một cặp duy nhất (x , y) thỏa mãn đề bài. Do đó mỗi cặp như vậy có thể xem là một tổ hợp chập 2 của n phần tử.

Vậy có \(C_n^2 = {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}\) cặp

Câu 9 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một túi chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ.

a. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong túi.

- Tính xác suất để được 2 viên bi đen.

- Tính xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi trắng.

b. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong túi.

- Tính xác suất để được 3 viên bi đỏ.

- Tính xác suất để được 3 viên bi với 3 màu khác nhau.

Giải

a. Số trường hợp có thể là \(C_{16}^2.\)

Số trường hợp rút được cả hai viên bi đen là \(C_6^2.\) Do đó xác suất để rút được hai viên bi đen là \({{C_6^2} \over {C_{16}^2}} = {1 \over 8}.\)

Số trường hợp rút được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen là \(C_7^1.C_6^1 = 42.\) Do đó xác suất rút được 1 viên bi  trắng, 1 viên bi đen là \({{42} \over {C_{16}^2}} = {7 \over {20}}\)

b. Số trường hợp có thể là \(C_{16}^3.\)

Số trường hợp rút được 3 viên bi đỏ là \(C_3^3 = 1.\)

Vậy xác suất rút được 3 viên bi đỏ là \({1 \over {C_{16}^3}} = {1 \over {560}}.\)

Theo qui tắc nhân, ta có : 7.6.3 = 126 cách chọn 3 viên bi có 3 màu khác nhau. Vậy xác suất rút được 3 viên bi có 3 màu khác nhau là \({{126} \over {C_{16}^3}} = {9 \over {40}}\)

Câu 10 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số điểm mà một vận động viên bắn cung nhận được khi bắn một lần. Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau :

a. Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn một lần

b. Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần.

Giải:

a. Ta có: \(E\left( x \right) = 9.0,2 + 7.0,36 + 5.0,23 + 3.0,14 + 1.0,07 \)

           \(= 5,96\)

b. Điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần là \(48.5,96 = 286,08\).

 Giaibaitap.me