Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Ta đã biết \(\cos {\pi  \over {{2^2}}} = {1 \over 2}\sqrt 2 .\) Chứng minh rằng :

a. \(\cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

b. \(\cos {\pi  \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}\)   (1)   với mọi số nguyên n ≥ 2.

Giải:

a.

\(\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi  \over 8} = {{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \cr} \)

b. Với n = 2 ta có \(\cos {\pi  \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

\(\cos {\pi  \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) (k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

\(\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi  \over {{2^k}}}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(∀n ≥ 2\).

Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng :

a. \({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\)  (1)  với mọi số nguyên  n ≥ 1

b. (u­_n) là môt dãy số tăng.

Giải:

a. Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)

(1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\eqalign{  & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 = {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3}  \cr  &  = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

b. Ta có:

\(\eqalign{  & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3}  \cr  &  = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)

⇒ (u_n) là dãy số tăng.

Câu 13 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 5\,\text{ và }\,{u_n} = {u_{n - 1}} - 2\) với mọi n ≥ 2

a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

b. Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (u_n).

Giải:

a. Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} =  - 2;\forall n \ge 1\)

Suy ra: (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = -2 do đó :

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 2} \right) =  - 2n + 7\)

b. \({S_{100}} = {{100} \over 2}\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 50\left( {10 - 198} \right) =  - 9400\)

Câu 14 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u­­­­_n) xác định bởi :

\({u_1} = 2\,\text{ và }\,{u_n} = 3{u_{n - 1}}\) với mọi n ≥ 2

a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n);

b. Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số (u_n).

Giải:

Ta có: \({{{u_n}} \over {{u_{n - 1}}}} = 3,\forall n \ge 2\)

(u_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3 ta được :

a. \({u_n} = {2.3^{n - 1}}\)

b. \({S_{10}} = {3^{10}} - 1\)

Câu 15 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Các số x – y, x + y và 3x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số x – 2, y + 2 và 2x + 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Hãy tìm x và y

Giải:

Theo đề bài ra ta có hệ : \(\left\{ {\matrix{   {2\left( {x + y} \right) = \left( {x - y} \right) + \left( {3x - 3y} \right)}  \cr   {{{\left( {y + 2} \right)}^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3y} \right)}  \cr  } } \right.\)

Giải hệ ta được : \(\left\{ {\matrix{   {x = 3}  \cr   {y = 1}  \cr  } } \right.\,\text{hoặc}\;\left\{ {\matrix{   {x =  - {6 \over {13}}}  \cr   {y =  - {2 \over {13}}}  \cr  } } \right.\)

 Giaibaitap.me