Câu 42 trang 218 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo.

a.  \(f\left( x \right) = {x^4} - \cos 2x,{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)\)

b.  \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x,{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)\)

c.  \(f\left( x \right) = {\left( {x + 10} \right)^6},{f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\)

Giải:

a. Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 4{x^3} + 2\sin 2x\\
f"\left( x \right) = 12{x^2} + 4\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}} = 24x - 8\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 24 - 16\cos 2x
\end{array}\)

b. 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 2\cos x\left( { - \sin x} \right) = - \sin 2x\\
f"\left( x \right) = - 2\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = 4\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}} = 8\cos 2x\\
{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = - 16\sin 2x
\end{array}\)

c. 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 6{\left( {x + 10} \right)^5}\\
f"\left( x \right) = 30{\left( {x + 10} \right)^4}\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = 120{\left( {x + 10} \right)^3}\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 360{\left( {x + 10} \right)^2}\\
{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = 720\left( {x + 10} \right)\\
{f^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) = 720\\
{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 0,\forall n \ge 7
\end{array}\)

Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\), ta có :

a. Nếu  \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)

b. Nếu  \(f\left( x \right) = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x.\)

c. Nếu \(f\left( x \right) = \sin ax\) (a là hằng số) thì  \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {a^{4n}}\sin ax.\)

Giải

a. Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right).\) Ta hãy chứng minh công thức :

\({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\left( {\forall x \ge 1} \right)\,\,\left( 1 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.

+ Với \(n = 1\), ta có :  \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{{x^2}}}\,\text{ và }\,\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} =  - \frac{1}{{{x^2}}}\)

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\),

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là :

\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\) 

Thật vậy, ta có :

 \({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( k \right)}}\left( x \right)} \right]' =  - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}k!.\left( {k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2\left( {k + 1} \right)}}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)

b. Cho \(f(x) = \cos x\). Ta hãy chứng minh công thức :

\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x\left( {\forall n \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.

Ta có:  \(f'\left( x \right) =  - \sin x;f"\left( x \right) =  - \cos x;\)

\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)

+ Với n = 1 thì  \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)

Suy ra (2) đúng khi n = 1

+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x,\)

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :  

\({f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left( x \right) = \cos x\,\left( {hay\,{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x} \right)\)

Thật vậy, vì : 

\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x\,\text{ nên }\,{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = - \sin x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - \cos x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = \sin x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x
\end{array}\)

c. Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\
f"\left( x \right) = - {a^2}\sin ax\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - {a^3}\cos ax\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax
\end{array}\)

Với \(n = 1\) ta có \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax,\) đẳng thức đúng với \(n = 1\)

Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)

Với \(n = k + 1\) ta có  \({f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {\left( {{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left( 4 \right)}}\)

Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\) 

\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), do đó đẳng thức đúng với mọi n.

Câu 44 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t², trong đó t > 0, t tính bằng giây (s) và v(t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm

a. Tại thời điểm t = 4

b. Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11.

Giải:

Ta có: a(t) = v’(t) = 8 + 6t

a. Khi t = 4s thì a(4) = 32 m/s²

b. Khi v(t) = 11 m/s thì ta được :

\(8t + 3{t^2} = 11 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {t = 1}  \cr   {t =  - {{11} \over 3}\,\,\left( \text{loại} \right)}  \cr } } \right.\)

Với t = 1s thì a(1) = 14 m/s²

Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm vi phân của mỗi hàm số sau :

a. \(y = {\tan ^2}3x - \cot 3{x^2}\)

b. \(y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} \)

Giải:

a.

\(\eqalign{  & y' = 2\tan 3x.3\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + 6x\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow dy = y'dx = \left[ {6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + 6x\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)} \right]dx \cr} \)

b.

\(\eqalign{  & y' = {{2\cos 2x.\left( { - 2\sin 2x} \right)} \over {2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} = {{ - \sin 4x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}  \cr  &  \Rightarrow dy = y'dx =  - {{\sin4 x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}dx \cr} \)

Câu 46 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) :

a. \({1 \over {\sqrt {20,3} }}\).

Hướng dẫn : Xét hàm số \(y = {1 \over {\sqrt x }}\) tại điểm \({x_0} = 20,25 = 4,{5^2}\,\text{ với }\,\Delta x = 0,05\)

b. tan29˚30’.

Hướng dẫn : Xét hàm số y = tanx tại điểm \({x_0} = {\pi  \over 6}\,\text{ với }\,\Delta x =  - {\pi  \over {360}}\)

Giải

a. Vì \({1 \over {\sqrt {20,3} }} = {1 \over {\sqrt {20,25 + 0,05} }}\) nên ta xét hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x }}\,\text{ tại }\,{x_0} = 20,25\)

Với \(\Delta x = 0,05.\) Ta có :

\(\eqalign{  & f\left( {{x_0}} \right) = {1 \over {\sqrt {20,25} }} = {1 \over {4,5}}  \cr  & f'\left( {{x_0}} \right) =  - {1 \over {2.20,25.\sqrt {20,25} }} =  - {1 \over {182,25}} \cr} \)

Do đó :

\(\eqalign{  & {1 \over {\sqrt {20,3} }} = f\left( {20,3} \right) = f\left( {{x_0} + 0,05} \right)  \cr  &  = f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right).0,05 = {1 \over {4,5}} - {{0,05} \over {182,25}} \approx 0,222 \cr} \)

b. Vì \(\tan 29^\circ 30' = \tan \left( {{\pi  \over 6} - {\pi  \over {360}}} \right)\) nên ta xét hàm số f(x) = tanx tại \({x_0} = {\pi  \over 6}\)

Với \(\Delta x =  - {\pi  \over {360}}.\) Ta có:

\(\eqalign{  & f\left( {{x_0}} \right) = \tan {\pi  \over 6} = {1 \over {\sqrt 3 }}  \cr  & f'\left( {{x_0}} \right) = 1 + {\tan ^2}{\pi  \over 6} = {4 \over 3}. \cr} \)

Do đó :

\(\tan \left( {{\pi  \over 6} - {\pi  \over {360}}} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)

                           \(= {1 \over {\sqrt 3 }} + {4 \over 3}\left( { - {\pi  \over {360}}} \right) \approx 0,566\)

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Giải:

a. 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}x\\
f"\left( x \right) = 2\tan x .\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)=2{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} + 4{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)
\end{array}\)

b. \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)  (1)

Với n = 1 ta có: 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \sin 2x\\
f"\left( x \right) = 2\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)

Với n = k + 1 ta có : 

\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.

Câu 48 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. Nếu \(y = A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right),\) trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì  \(y" + {\omega ^2}y = 0.\)

b. Nếu \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) thì \({y^3}y" + 1 = 0.\)

Giải:

a. 

\(\begin{array}{l}
y = A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\,\text{ nên }\\
y' = A\omega \cos \left( {\omega t + \varphi } \right) - B\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right)\\
y" = - A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) - B{\omega ^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\
Suy\,ra\,:\\\,y" + {\omega ^2}y = - \left[ {A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)+B{\omega ^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right]\\
+ {\omega ^2}\left[ {A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right] = 0
\end{array}\)

b. Ta có: 

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\
y'' = \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - \left( {1 - x} \right).\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{\left( {2x - {x^2}} \right)}}\\
= \frac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}\\
Suy\,ra\,\\{y^3}.y" + 1 = \sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} .\frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 = 0
\end{array}\)

Giaibaitap.me