Processing math: 17%
Trang chủ
Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết
Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Toán 11 Nâng cao

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM

Giải bài tập trang 220, 221, 222 ôn tập chương V - Đạo hàm SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 49: Tìm đạo hàm của các hàm số sau ...

Câu 49 trang 220 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a. y=x42+5x332x+1

b. y=x2+3xa2x1 (a là hằng số)

c. y=(2x2)cosx+2xsinx

d. y=tan2x+tanx2

Giải

a. y=2x3+5x212x

b. y=(2x+3)(x1)(x2+3xa2)(x1)2=x22x+a23(x1)2

c. y=2xcosx(2x2)sinx+2sinx+2xcosx

     =x2sinx

d. y=2tanx(1+tan2x)+2x(1+tan2x2)

 


Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. Chứng minh rằng (1xn)=nxn+1, trong đó n ϵ N*

b. Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt xn=1xn. Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức (xn)=nxn1 và nêu nhận xét.

Giải:

a. Ta có: (1xn)=(xn)x2n=nxn1x2n=nxn+1

b. Ta có: (xn)=nxn1 (Theo a)

Nhận xét : Công thức (xn)=nxn1 đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên (;0)(0;+))

 


Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

a. y=sinx,y  

b. y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}

c. y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}

d. y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}

e. y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}

f. y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}

Giải:

a. 

\begin{array}{l} y' = \cos x\\ y" = - \sin x\\ y''' = - \cos x \end{array}

b. 

\begin{array}{l} y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\ y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\ y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\ y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\ {y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x \end{array}

c. 

\begin{array}{l} y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\ y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\ y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\ {y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\ {y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\ {y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right) \end{array}

d. 

\begin{array}{l} y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\ y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\ y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},... \end{array}

Bằng qui nạp ta chứng minh được :
  {y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}

          = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}

e.  

\begin{array}{l} y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\ y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\ y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},... \end{array}

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

 {y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}

f. Ta có: 

\begin{array}{l} y' = - \sin 2x\\ y" = - 2\cos 2x\\ y"' = {2^2}\sin 2x\\ {y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\ {y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\ {y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,... \end{array}

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

   {y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x

 


Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính vi phân của hàm số y = {1 \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}} tại điểm x = {\pi  \over 6} ứng với \Delta x = {\pi  \over {360}} (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Giải:

Ta có: df\left( x \right) = {{ - 2\left( {1 + \tan x} \right){1 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^4}}}.\Delta x = {{ - 2\Delta x} \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}}

Suy ra: df\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {{ - 2.{\pi  \over {360}}} \over {{{\cos }^2}{\pi  \over 6}{{\left( {1 + \tan {\pi  \over 6}} \right)}^3}}} = {{ - \pi } \over {180.{3 \over 4}{{\left( {1 + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)}^3}}}

                            \approx  - 0,0059

 


Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Gọi (C) là đồ thị của hàm số f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =  - {1 \over 8}x + 3

d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)

Giải:

a. f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x .Ta có 2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0

\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x_0^2 = 1}  \cr   {x_0^2 =  - 3\,\left( \text{loại} \right)}  \cr  }  \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1} \right.

* Với x0 = 1 ta có f'\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y - 2 = 8\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x - 6

* Với x0 = -1 ta có f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) =  - 8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y - 2 =  - 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y =  - 8x - 6

b. Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 thỏa :

f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0

\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} =  - 1} \right)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y - \left( { - 1} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y =  - 1

c. Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng y =  - {1 \over 8}x + 3, nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :

\eqalign{  & y' = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x - 8 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr}

Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : y = 8x – 6

d. Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) của đồ thị (C) là :

\eqalign{  & y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr}

Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :

\eqalign{  &  - 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1  \cr  &  \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 - 5 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} =  \pm 1 \cr}

Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :

y = 8x - 6;\;y =  - 8x -6

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :

\left\{ {\matrix{   {f\left( x \right) = kx - 6}  \cr   {f'\left( x \right) = k}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6}  \cr   {4{x^3} + 4x = k}  \cr  } } \right.

Khử k từ hệ trên ta được : 3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1

Suy ra k = ± 8.

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : y = 8x - 6;\;y =  - 8x -6

 


Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số y = {1 \over {x - 1}} sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Giải

Với mọi x ≠ 1, ta có : y' =  - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm {M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right) (với {x_0} \ne 1 ) là : y =  - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có

hoành độ xA thỏa mãn : {{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1 

và cắt trục tung tại điểm B có tung độ yB là :

{y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}

Ta có:

\eqalign{  & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2  \cr  &  \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr}

Suy ra : {y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} =  - 4. Vậy điểm phải tìm Mo có tọa độ là \left( {{3 \over 4}; - 4} \right)  

 


Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P(x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng ∆, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị (P).

Giải:

Đa thức phải tìm có dạng : P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)

Ta có: P'\left( x \right) = 2ax + b

Vì trục đối xứng (∆) có phương trình x = 1 nên : - {b \over {2a}} = 1\,\,\left( 1 \right)

Vì đồ thị (P) đi qua điểm A(3 ; 0) nên ta có P(3) = 0, tức là:

9a + 3b + c = 0\,\,\left( 2 \right)

Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A(3 ; 0) bằng \tan {\pi  \over 4} nên ta có P’(3) = 1, tức là :

6a + b = 1\,\left( 3 \right)

Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) với ba ẩn số a, b và c, ta được :

\eqalign{  & a = {1 \over 4}  \cr  & b =  - {1 \over 2}  \cr  & c =  - {3 \over 4} \cr}

Vậy P\left( x \right) = {1 \over 4}{x^2} - {1 \over 2}x - {3 \over 4}

 


Câu 56 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho parabol (P) : y = {x^2}. Gọi M1 và M2 là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x1 = -2 và x2 = 1.

Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M1M2. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.

Giải:

Các điểm M1 và M2 có tọa độ là M1(-2 ; 4); M2(1 ; 1)

Hệ số góc của cát tuyến M1M2\tan \varphi  = {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{4 - 1} \over { - 2 - 1}} =  - 1

Vì tiếp tuyến tại điểm C\left( {{x_0};x_0^2} \right) song song với cát tuyến M1M2 nên ta có :

y'\left( {{x_0}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2{x_0} =  - 1 \Leftrightarrow {x_0} = {{ - 1} \over 2},

Suy ra tọa độ của điểm C là \left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right)

Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

y = \left( { - 1} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {1 \over 4} \Leftrightarrow y =  - x - {1 \over 4}

 


Câu 57 trang 222 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một chất điểm chuyển động có phương trình S = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2, ở đó, t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m)

a. Tính vận tốc tại thời điểm t = 2

b. Tính gia tốc tại thời điểm t = 3

c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0

d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0.

Giải:

Ta có: 

\begin{array}{l} s' = 3{t^2} - 6t - 9\\ s" = 6t - 6 \end{array}

a. Vận tốc tại thời điểm t = 2 là : v = s’(2) = -9 m/s

b. Gia tốc tại thời điểm t = 3 là : a = s”(3) = 12 m/s2

c. 

\begin{array}{l} v = s' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\\ a\left( 3 \right) = s"\left( 3 \right) = 12\,m/{s^2} \end{array}

d. 

\begin{array}{l} a = s" = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ v\left( 1 \right) = s'\left( 1 \right) = - 12\,m/s \end{array}

 

Giaibaitap.me

Góp ý - Báo lỗi

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Giaibaitap.me

Bài giải mới nhất

Bài giải mới nhất các môn khác