Câu 49 trang 220 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a. y=x42+5x33−√2x+1
b. y=x2+3x−a2x−1 (a là hằng số)
c. y=(2−x2)cosx+2xsinx
d. y=tan2x+tanx2
Giải
a. y′=2x3+5x2−1√2x
b. y′=(2x+3)(x−1)−(x2+3x−a2)(x−1)2=x2−2x+a2−3(x−1)2
c. y′=−2xcosx−(2−x2)sinx+2sinx+2xcosx
=x2sinx
d. y′=2tanx(1+tan2x)+2x(1+tan2x2)
Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
a. Chứng minh rằng (1xn)′=−nxn+1, trong đó n ϵ N*
b. Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt x−n=1xn. Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức (xn)′=nxn−1 và nêu nhận xét.
Giải:
a. Ta có: (1xn)′=−(xn)′x2n=−nxn−1x2n=−nxn+1
b. Ta có: (x−n)′=−nx−n−1 (Theo a)
Nhận xét : Công thức (xn)′=nxn−1 đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên (−∞;0)∪(0;+∞))
Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)
a. y=sinx,y‴
b. y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}
c. y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}
d. y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}
e. y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}
f. y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}
Giải:
a.
\begin{array}{l} y' = \cos x\\ y" = - \sin x\\ y''' = - \cos x \end{array}
b.
\begin{array}{l} y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\ y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\ y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\ y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\ {y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x \end{array}
c.
\begin{array}{l} y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\ y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\ y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\ {y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\ {y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\ {y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right) \end{array}
d.
\begin{array}{l} y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\ y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\ y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},... \end{array}
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
{y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}
= {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}
e.
\begin{array}{l} y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\ y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\ y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},... \end{array}
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
{y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}
f. Ta có:
\begin{array}{l} y' = - \sin 2x\\ y" = - 2\cos 2x\\ y"' = {2^2}\sin 2x\\ {y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\ {y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\ {y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,... \end{array}
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
{y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x
Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính vi phân của hàm số y = {1 \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}} tại điểm x = {\pi \over 6} ứng với \Delta x = {\pi \over {360}} (tính chính xác đến hàng phần vạn).
Giải:
Ta có: df\left( x \right) = {{ - 2\left( {1 + \tan x} \right){1 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^4}}}.\Delta x = {{ - 2\Delta x} \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}}
Suy ra: df\left( {{\pi \over 6}} \right) = {{ - 2.{\pi \over {360}}} \over {{{\cos }^2}{\pi \over 6}{{\left( {1 + \tan {\pi \over 6}} \right)}^3}}} = {{ - \pi } \over {180.{3 \over 4}{{\left( {1 + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)}^3}}}
\approx - 0,0059
Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Gọi (C) là đồ thị của hàm số f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :
a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2
b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành
c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - {1 \over 8}x + 3
d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)
Giải:
a. f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x .Ta có 2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0
\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x_0^2 = 1} \cr {x_0^2 = - 3\,\left( \text{loại} \right)} \cr } \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1} \right.
* Với x0 = 1 ta có f'\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8
Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :
y - 2 = 8\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x - 6
* Với x0 = -1 ta có f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) = - 8
Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :
y - 2 = - 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = - 8x - 6
b. Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 thỏa :
f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0
\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} = - 1} \right)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y - \left( { - 1} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = - 1
c. Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng y = - {1 \over 8}x + 3, nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :
\eqalign{ & y' = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x - 8 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr}
Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : y = 8x – 6
d. Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) của đồ thị (C) là :
\eqalign{ & y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cr & \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr}
Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :
\eqalign{ & - 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr & \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} = \pm 1 \cr}
Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :
y = 8x - 6;\;y = - 8x -6
Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6
Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :
\left\{ {\matrix{ {f\left( x \right) = kx - 6} \cr {f'\left( x \right) = k} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6} \cr {4{x^3} + 4x = k} \cr } } \right.
Khử k từ hệ trên ta được : 3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1
Suy ra k = ± 8.
Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : y = 8x - 6;\;y = - 8x -6
Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số y = {1 \over {x - 1}} sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.
Giải
Với mọi x ≠ 1, ta có : y' = - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm {M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right) (với {x_0} \ne 1 ) là : y = - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}
Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có
hoành độ xA thỏa mãn : {{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1
và cắt trục tung tại điểm B có tung độ yB là :
{y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}
Ta có:
\eqalign{ & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2 \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr}
Suy ra : {y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} = - 4. Vậy điểm phải tìm Mo có tọa độ là \left( {{3 \over 4}; - 4} \right)
Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P(x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng ∆, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị (P).
Giải:
Đa thức phải tìm có dạng : P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)
Ta có: P'\left( x \right) = 2ax + b
Vì trục đối xứng (∆) có phương trình x = 1 nên : - {b \over {2a}} = 1\,\,\left( 1 \right)
Vì đồ thị (P) đi qua điểm A(3 ; 0) nên ta có P(3) = 0, tức là:
9a + 3b + c = 0\,\,\left( 2 \right)
Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A(3 ; 0) bằng \tan {\pi \over 4} nên ta có P’(3) = 1, tức là :
6a + b = 1\,\left( 3 \right)
Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) với ba ẩn số a, b và c, ta được :
\eqalign{ & a = {1 \over 4} \cr & b = - {1 \over 2} \cr & c = - {3 \over 4} \cr}
Vậy P\left( x \right) = {1 \over 4}{x^2} - {1 \over 2}x - {3 \over 4}
Câu 56 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho parabol (P) : y = {x^2}. Gọi M1 và M2 là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x1 = -2 và x2 = 1.
Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M1M2. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.
Giải:
Các điểm M1 và M2 có tọa độ là M1(-2 ; 4); M2(1 ; 1)
Hệ số góc của cát tuyến M1M2 là \tan \varphi = {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{4 - 1} \over { - 2 - 1}} = - 1
Vì tiếp tuyến tại điểm C\left( {{x_0};x_0^2} \right) song song với cát tuyến M1M2 nên ta có :
y'\left( {{x_0}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2{x_0} = - 1 \Leftrightarrow {x_0} = {{ - 1} \over 2},
Suy ra tọa độ của điểm C là \left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right)
Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
y = \left( { - 1} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {1 \over 4} \Leftrightarrow y = - x - {1 \over 4}
Câu 57 trang 222 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Một chất điểm chuyển động có phương trình S = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2, ở đó, t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m)
a. Tính vận tốc tại thời điểm t = 2
b. Tính gia tốc tại thời điểm t = 3
c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0
d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0.
Giải:
Ta có:
\begin{array}{l} s' = 3{t^2} - 6t - 9\\ s" = 6t - 6 \end{array}
a. Vận tốc tại thời điểm t = 2 là : v = s’(2) = -9 m/s
b. Gia tốc tại thời điểm t = 3 là : a = s”(3) = 12 m/s2
c.
\begin{array}{l} v = s' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\\ a\left( 3 \right) = s"\left( 3 \right) = 12\,m/{s^2} \end{array}
d.
\begin{array}{l} a = s" = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ v\left( 1 \right) = s'\left( 1 \right) = - 12\,m/s \end{array}
Giaibaitap.me
Giải bài tập trang 222, 223 ôn tập chương V - Đạo hàm SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 58: Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai...
Giải bài tập trang 223, 224 ôn tập cuối năm SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 1: a) Tính...
Giải bài tập trang 224 ôn tập cuối năm SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 6: a) Tính...
Giải bài tập trang 225 ôn tập cuối năm SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 11: Ta đã biết ...