Câu 49 trang 220 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a. \(y = {{{x^4}} \over 2} + {{5{x^3}} \over 3} - \sqrt {2x}  + 1\)

b. \(y = {{{x^2} + 3x - {a^2}} \over {x - 1}}\) (a là hằng số)

c. \(y = \left( {2 - {x^2}} \right)\cos x + 2x\sin x\)

d. \(y = {\tan ^2}x + \tan {x^2}\)

Giải

a. \(y' = 2{x^3} + 5{x^2} - {1 \over {\sqrt {2x} }}\)

b. \(y' = {{\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - {a^2}} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x + {a^2} - 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

c. \(y' =  - 2x\cos x - \left( {2 - {x^2}} \right)\sin x + 2\sin x + 2x\cos x \)

     \(= {x^2}\sin x\)

d. \(y' = 2\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}{x^2}} \right)\)

Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. Chứng minh rằng \({\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)'} =  - {n \over {{x^{n + 1}}}},\) trong đó n ϵ N*

b. Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt \({x^{ - n}} = {1 \over {{x^n}}}.\) Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và nêu nhận xét.

Giải:

a. Ta có: \(\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)' =  - {{\left( {{x^n}} \right)'} \over {{x^{2n}}}} = {{ - n{x^{n - 1}}} \over {{x^{2n}}}} =  - {n \over {{x^{n + 1}}}}\)

b. Ta có: \(\left( {{x^{ - n}}} \right)' =  - n{x^{ - n - 1}}\) (Theo a)

Nhận xét : Công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\))

Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

a. \(y=\sin x,\;y'''\)  

b. \(y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}\)

c. \(y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}\)

d. \(y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}\)

e. \(y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}\)

f. \(y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}\)

Giải:

a. 

\(\begin{array}{l}
y' = \cos x\\
y" = - \sin x\\
y''' = - \cos x
\end{array}\)

b. 

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\
y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\
y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\
y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\
{y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x
\end{array}\)

c. 

\(\begin{array}{l}
y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\
y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\
y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\
{y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\
{y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\
{y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right)
\end{array}\)

d. 

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\
y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\
y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :
  \({y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}\)

          \(= {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}\)

e.  

\(\begin{array}{l}
y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\
y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\
y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

 \({y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\)

f. Ta có: 

\(\begin{array}{l}
y' = - \sin 2x\\
y" = - 2\cos 2x\\
y"' = {2^2}\sin 2x\\
{y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\
{y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\
{y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

   \({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x\)

Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính vi phân của hàm số \(y = {1 \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}}\) tại điểm \(x = {\pi  \over 6}\) ứng với \(\Delta x = {\pi  \over {360}}\) (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Giải:

Ta có: \(df\left( x \right) = {{ - 2\left( {1 + \tan x} \right){1 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^4}}}.\Delta x = {{ - 2\Delta x} \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}}\)

Suy ra: \(df\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {{ - 2.{\pi  \over {360}}} \over {{{\cos }^2}{\pi  \over 6}{{\left( {1 + \tan {\pi  \over 6}} \right)}^3}}} = {{ - \pi } \over {180.{3 \over 4}{{\left( {1 + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)}^3}}}\)

                            \(\approx  - 0,0059\)

Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y =  - {1 \over 8}x + 3\)

d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)

Giải:

a. \(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x\) .Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x_0^2 = 1}  \cr   {x_0^2 =  - 3\,\left( \text{loại} \right)}  \cr  }  \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1} \right.\)

* Với x₀ = 1 ta có \(f'\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8\)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

\(y - 2 = 8\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x - 6\)

* Với x₀ = -1 ta có \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) =  - 8\)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

\(y - 2 =  - 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y =  - 8x - 6\)

b. Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x₀ thỏa :

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} =  - 1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : \(y - \left( { - 1} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y =  - 1\)

c. Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y =  - {1 \over 8}x + 3,\) nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :

\(\eqalign{  & y' = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x - 8 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)

Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : \(y = 8x – 6\)

d. Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị (C) là :

\(\eqalign{  & y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr} \)

Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :

\(\eqalign{  &  - 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1  \cr  &  \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 - 5 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} =  \pm 1 \cr} \)

Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :

\(y = 8x - 6;\;y =  - 8x -6\)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :

\(\left\{ {\matrix{   {f\left( x \right) = kx - 6}  \cr   {f'\left( x \right) = k}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6}  \cr   {4{x^3} + 4x = k}  \cr  } } \right.\)

Khử k từ hệ trên ta được : \(3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Suy ra \(k = ± 8\).

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : \(y = 8x - 6;\;y =  - 8x -6\)

Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Giải

Với mọi x ≠ 1, ta có : \(y' =  - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right)\) (với \({x_0} \ne 1\) ) là : \(y =  - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}\)

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có

hoành độ x_A thỏa mãn : \({{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\) 

và cắt trục tung tại điểm B có tung độ y_B là :

\({y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2  \cr  &  \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr} \)

Suy ra : \({y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} =  - 4.\) Vậy điểm phải tìm M_o có tọa độ là \(\left( {{3 \over 4}; - 4} \right)\)  

Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P(x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng ∆, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị (P).

Giải:

Đa thức phải tìm có dạng : \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta có: \(P'\left( x \right) = 2ax + b\)

Vì trục đối xứng (∆) có phương trình x = 1 nên : \( - {b \over {2a}} = 1\,\,\left( 1 \right)\)

Vì đồ thị (P) đi qua điểm A(3 ; 0) nên ta có P(3) = 0, tức là:

\(9a + 3b + c = 0\,\,\left( 2 \right)\)

Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A(3 ; 0) bằng \(\tan {\pi  \over 4}\) nên ta có \(P’(3) = 1\), tức là :

\(6a + b = 1\,\left( 3 \right)\)

Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) với ba ẩn số a, b và c, ta được :

\(\eqalign{  & a = {1 \over 4}  \cr  & b =  - {1 \over 2}  \cr  & c =  - {3 \over 4} \cr} \)

Vậy \(P\left( x \right) = {1 \over 4}{x^2} - {1 \over 2}x - {3 \over 4}\)

Câu 56 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho parabol (P) : \(y = {x^2}.\) Gọi M₁ và M₂ là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x₁ = -2 và x₂ = 1.

Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M₁M₂. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.

Giải:

Các điểm M₁ và M₂ có tọa độ là M₁(-2 ; 4); M₂(1 ; 1)

Hệ số góc của cát tuyến M₁M₂ là \(\tan \varphi  = {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{4 - 1} \over { - 2 - 1}} =  - 1\)

Vì tiếp tuyến tại điểm \(C\left( {{x_0};x_0^2} \right)\) song song với cát tuyến M₁M₂ nên ta có :

\(y'\left( {{x_0}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2{x_0} =  - 1 \Leftrightarrow {x_0} = {{ - 1} \over 2},\)

Suy ra tọa độ của điểm C là \(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right)\)

Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

\(y = \left( { - 1} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {1 \over 4} \Leftrightarrow y =  - x - {1 \over 4}\)

Câu 57 trang 222 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một chất điểm chuyển động có phương trình \(S = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2,\) ở đó, t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m)

a. Tính vận tốc tại thời điểm t = 2

b. Tính gia tốc tại thời điểm t = 3

c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0

d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0.

Giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
s' = 3{t^2} - 6t - 9\\
s" = 6t - 6
\end{array}\)

a. Vận tốc tại thời điểm t = 2 là : v = s’(2) = -9 m/s

b. Gia tốc tại thời điểm t = 3 là : a = s”(3) = 12 m/s²

c. 

\(\begin{array}{l}
v = s' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\\
a\left( 3 \right) = s"\left( 3 \right) = 12\,m/{s^2}
\end{array}\)

d. 

\(\begin{array}{l}
a = s" = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\
v\left( 1 \right) = s'\left( 1 \right) = - 12\,m/s
\end{array}\)

Giaibaitap.me