Câu 79 trang 61 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Với số m và số n bất kì, chứng tỏ rằng

a. \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 4m\)

b. \({m^2} + {n^2} + 2 \ge 2\left( {m + n} \right)\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{  & {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 4m \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 4m \ge 4m  \cr  &  \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 \ge 4m  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 4m \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{  & {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {n - 1} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {n - 1} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + {n^2} - 2n + 1 \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + 2 \ge 2\left( {m + n} \right) \cr} \)

Câu 80 trang 61 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng

\(\left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4\)

Giải:

Ta có:

\(\eqalign{  & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr} \)

Vì a > 0, b > 0 nên ab ≥ 0 \( \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)

\(\eqalign{  & \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}}  \cr  &  \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2  \cr  &  \Leftrightarrow 2 + {a \over b} + {b \over a} \ge 2 + 2  \cr  &  \Leftrightarrow 2 + {a \over b} + {b \over a} \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow 1 + 1 + {a \over b} + {b \over a} \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow a\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) + b\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4 \cr} \)

Câu 81 trang 62 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Chứng tỏ diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi.

Giải:

Chu vi hình chữ nhật là 4.10 = 40 (m)

Gọi x (m) là chiều rộng hình chữ nhật. Điều kiện: x < 20.

Khi đó chiều dài hình chữ nhật là 20 – x (m)

Diện tích hình chữ nhật là x(20 – x ) (\({m^2}\))

Ta có:

\(\eqalign{  & {\left( {10 - x} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {10^2} - 20x + {x^2} \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {10^2} \ge 20x - {x^2}  \cr  &  \Leftrightarrow {10^2} \ge x\left( {20 - x} \right) \cr} \)

Vậy diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật cùng chu vi.

Câu 82 trang 62 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Giải các bất phương trình:

a. \(3\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) < 3{x^2} + x\)

b. \(\left( {x + 4} \right)\left( {5x - 1} \right) > 5{x^2} + 16x + 2\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{  & 3\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) < 3{x^2} + x  \cr  &  \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 4} \right) \le 3{x^2} + x  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} - 12 \le 3{x^2} + x  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{x^2} - x \le 12  \cr  &  \Leftrightarrow  - x \le 12 \Leftrightarrow x \ge  - 12 \cr} \)

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{ {x|x >  - 12} \right\}\)

b. Ta có:

\(\eqalign{  & \left( {x + 4} \right)\left( {5x - 1} \right) > 5{x^2} + 16x + 2  \cr  &  \Leftrightarrow 5{x^2} - {x^2} + 20x - 4 > 5{x^2} + 16x + 2  \cr  &  \Leftrightarrow 5{x^2} - {x^2} + 20x - 5{x^2} - 16x > 2 + 4  \cr  &  \Leftrightarrow 3x > 6 \Leftrightarrow x > 2 \cr} \)

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{ {x|x > 2} \right\}\)

Giaibaitap.me