Câu 65 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng :

a. Giá trị của biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ -1

 b. Giá trị của biểu thức \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) bằng 1 khi \(x \ne 0,x \ne  - 3,x \ne 3,x \ne  - {3 \over 2}\)

Giải:

a. \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)

Biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\) xác định khi \(x \ne 0\)

Biểu thức \({{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)\) xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)

hay xác định khi \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 1\)

Vậy với điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne 1\)

Ta có : \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)

\(\eqalign{  &  = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}.{{1 + x} \over x}} \right]  \cr  &  = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left( {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over x}} \right) = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} \over {{x^2}}}  \cr  &  = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}} = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}.{{{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 \cr} \)

b. Biểu thức : \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) xác định khi \(x - 3 \ne 0,2x + 3 \ne 0,{x^2} - 3x \ne 0\) và \({x^2} - 9 \ne 0\)

hay \(x \ne 3;x \ne  - {3 \over 2};x \ne 0;x \ne 3\) và \(x \ne  \pm 3\)

Vậy điều kiện \(x \ne 0,x \ne 3,x \ne  - 3\) và \(x \ne  - {3 \over 2}\)

Ta có: \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\)

\(\eqalign{  &  = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left[ {{{x + 3} \over {x\left( {x - 3} \right)}} - {x \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right]  \cr  &  = {x \over {x - 3}} - {{x\left( {x + 3} \right)} \over {2x + 3}}.{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} - {x^2}} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}  \cr  &  = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 6x + 9 - {x^2}} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {x \over {x - 3}} - {{3\left( {2x + 3} \right)} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)}}  \cr  &  = {x \over {x - 3}} - {3 \over {x - 3}} = {{x - 3} \over {x - 3}} = 1 \cr} \)

Câu 66 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chú ý rằng nếu c > 0 thì \({\left( {a + b} \right)^2} + c\) và \({\left( {a - b} \right)^2} + c\) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :

a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức

\({{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) luôn luôn có giá trị dương;

b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :

\({{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) luôn luôn có giá trị âm.

Giải:

a. \({{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\)

\(\eqalign{  &  = {{x + 2} \over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}  \cr  &  = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}  \cr  &  = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}  \cr  &  = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}  \cr  &  = {{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}  \cr  &  = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2} \cr} \)

Biểu thức dương khi \({x^2} + 2x + 3 > 0\) ta có : \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 1\)

b. \({{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 3\)

\(\eqalign{  &  = {{1 - {x^2}} \over x}.{{{x^2} - \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}  \cr  &  = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}  \cr  &  = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{x\left( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}}  \cr  &  = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \over {x + 3}} = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} \over {x + 3}}  \cr  &  = {{ - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} = {{\left( {x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 4x - 5} \right)} \over {x - 3}}  \cr  &  =  - {x^2} + 4x - 5 =  - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) \cr} \)

Vì \({x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi giá trị của x

nên \( - \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị \(x \ne 0\)và \(x \ne  - 3\)

Câu 67 trang 42 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chú ý rằng vì \({\left( {x + a} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} = 0\) khi \(x =  - a\) nên \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} + b = b\) khi\(x =  - a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \({\left( {x + a} \right)^2} + b\) bằng b khi\(x =  - a\). Áp dụng điều này giải các bài tập sau :

a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

\({{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

\({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) - {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Giải:

a. \({{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3\) (điều kiện \(x \ne 2\) và \(x \ne 0\) )

\(\eqalign{  &  = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{x^2} + 4 - 4x} \over x} + 3 = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \over x} + 3  \cr  &  = x\left( {x - 2} \right) + 3 = {x^2} - 2x + 1 + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \cr} \)

Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi giá trị của x

nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi \(x = 1\)

\(x = 1\) thỏa mãn điều kiện

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại \(x = 1\)

b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) - {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) (điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne  - 2\))

\(\eqalign{  &  = {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.{{x + 2 - {x^2}} \over {x + 2}} - {{{x^2} + 6x + 4} \over x} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 - {x^2}} \right)} \over x} - {{{x^2} + 6x + 4} \over x}  \cr  &  = {{{x^2} + 2x - {x^3} + 2x + 4 - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 4} \over x} = {{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x} \over x}  \cr  &  = {{ - x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over x} =  - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) =  - \left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} \right]  \cr  &  =  - \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] =  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1  \cr  & {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le  - 1 \cr} \)

nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = - 1

x = - 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = - 1 

Giaibaitap.me