Câu 7 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tạo các đỉnh B và D

Giải:

Gọi \(\widehat {{A_1},}\widehat {{C_1}}\) là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C. \({\widehat A_2},{\widehat C_2}\) là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {180^0}\) (2 góc kề bù)

\(\Rightarrow {\widehat A_2} = {180^0} - {\widehat A_1}\)      

\({\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {180^0}\)         (2 góc kề bù)

\( \Rightarrow {\widehat C_2} = {180^0} - {\widehat C_1}\)    

Suy ra:

\(\eqalign{
& {\widehat A_2} + {\widehat C_2} = {180^0} - {\widehat A_1} + {180^0} - {\widehat C_1} \cr 
& = {360^0} - \left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat C}_1}} \right) \cr}\)        (1)

Trong tứ giác ABCD ta có:

\({\widehat A_1} + \widehat B + {\widehat C_1} + \widehat D = {360^0}\) (tổng các góc của tứ giác)

\(\Rightarrow \widehat B + \widehat D = {360^0} - \left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat C}_1}} \right)\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \({\widehat A_2} + {\widehat C_2} = \widehat B + \widehat D\)

Câu 8 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tứ giác ABCD có \(\widehat A = {110^0},\widehat B = {100^0}\). Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính \(\widehat {CED},\widehat {CFD}\)

Giải:

 - Trong tứ giác ABCD, ta có:

\(\eqalign{
& \widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0} \cr 
& \Rightarrow \widehat C + \widehat D = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \cr 
& = {360^0} - \left( {{{110}^0} + {{100}^0}} \right) = {150^0} \cr 
& {\widehat D_1} + {\widehat C_1} = {{\widehat C + \widehat D} \over 2} = {{{{150}^0}} \over 2} = {75^0} \cr} \) 

- Trong ∆CED, ta có:

\(\widehat {CED} = {180^0} - \left( {{{\widehat C}_1} + {{\widehat D}_1}} \right) = {180^0} - {75^0} = {105^0}\) 

DE ⊥ DF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

\(\Rightarrow \widehat {EDF} = {90^0}\)

CE ⊥ CF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ECF} = {90^0}\)

Trong tứ giác CEDF, ta có:

\(\eqalign{
& \widehat {DEC} + \widehat {EDF} + \widehat {DFC} + \widehat {ECF} = {360^0} \cr 
& \Rightarrow \widehat {DFC} = {360^0} - \left( {\widehat {DEC} + \widehat {EDF} + \widehat {ECF}} \right) \cr 
& \widehat {DFC} = {360^0} - \left( {{{105}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) = {75^0} \cr} \)

Câu 9 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Trong  ∆OAB, ta có:                                                                  

OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)  

Trong ∆OCD, ta có:

OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2):

OA + OB + OC + OD > AB + CD

⇒ AC + BD > AB + CD

Câu 10 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Giải:

Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trong ∆OAB, ta có:

OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác)          (1)

Trong ∆OCD ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c

Hay AC + BD > a + c  (*)

-Trong ∆OAD ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)

-Trong ∆OBC ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: OA + OD + OB + OC > b + d

⇒ AC + BD > b + d (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d

\(⇒ AC + BD > {{a + b + c + d} \over 2}\)

-Trong ∆ABC ta có: AC < AB + BC =  a + b (bất đẳng thức tam giác)

-Trong ∆ADC ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2AC < a + b + c + d

\(AC < {{a + b + c + d} \over 2}\)   (5)

-Trong ∆ABD ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)

-Trong ∆BCD ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2BD < a + b + c + d

\(BD < {{a + b + c + d} \over 2}\)   (6)

Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d

Giaibaitap.me