Câu 61 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập1

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức \({{{x^2} - 25} \over {x + 1}} = 0\) khi \({x^2} - 25 = 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\) và\(x \ne  - 1\). Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi \(x =  \pm 5\)

Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :

a. \({{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\)

b. \({{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)

Giải:

a.  \({{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\)= 0 khi \(98{x^2} - 2 = 0\) và x – 2 ≠ 0

Ta có: x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2

\(\eqalign{  & 98{x^2} - 2 = 0 \Rightarrow 2\left( {49{x^2} - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left( {7x - 1} \right)\left( {7x + 1} \right) = 0  \cr  &  \Rightarrow \left[ {\matrix{   {7x + 1 = 0}  \cr   {7x - 1 = 0}  \cr}  \Rightarrow \left[ {\matrix{   {x =  - {1 \over 7}}  \cr   {x = {1 \over 7}}  \cr} } \right.} \right. \cr} \)

\(x = {1 \over 7}\)và \(x =  - {1 \over 7}\) thỏa mãn điều kiện x ≠ 2

Vậy \(x = {1 \over 7}\) hoặc \(x =  - {1 \over 7}\) thì phân thức \({{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\) có giá trị bằng 0.

b. \({{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)\( = {{3x - 2} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\) khi 3x – 2 = 0 và \({\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\)

Ta có : \({\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1\)

\(3x - 2 = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\)

\(x = {2 \over 3}\) thỏa mãn điều kiện x ≠ - 1

Vậy \(x = {2 \over 3}\) thì phân thức \({{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) có giá trị bằng 0.

Câu 62 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập1

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định :

a. \({{2x - 3} \over {{{x - 1} \over {x + 2}}}}\)

b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\)

c. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\)

d. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\)

Giải:

a. \({{2x - 3} \over {{{x - 1} \over {x + 2}}}}\) biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0

⇒ x ≠ 1 và x ≠ -2. Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ - 2

b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\) biểu thức xác định khi  và x – 1 ≠ 0

⇒ x ≠ 0 và x ≠ 1.

Vậy điều kiện để biểu thức xác định  x ≠ 0 và x ≠ 1

c. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\) biểu thức xác định khi \({x^2} - 10x + 25 \ne 0\) và x ≠ 0

\({x^2} - 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 5\)

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 0 và x ≠ 5

d. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\) biểu thức xác định khi \({x^2} + 10x + 25 \ne 0\) và x – 5 ≠ 0.

\(\eqalign{  & {x^2} + 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 5  \cr  & x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5 \cr} \)

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 5 và x ≠ -5

Câu 63 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0

Giải:

a. \({{{{2x - 3} \over {x - 1}}} \over {x + 2}}\) điều kiện x ≠ 1 và x ≠ -2

\( \Rightarrow {{\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {x - 1}} = 0\) biểu thức bằng 0 khi \(\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\) và \(x - 1 \ne 0\)

\(\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0\)hoặc \(x + 2 = 0\)

\(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1,5;x + 2 = 0 \Rightarrow x =  - 2\)

\(x =  - 2\) không thỏa mãn điều kiện, \(x = 1,5\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy \(x = 1,5\) thì biểu thức \({{{{2x - 3} \over {x - 1}}} \over {x + 2}}\) có giá trị bằng 0.

b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}} = 0\) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 1

\( \Rightarrow {{2{x^2} + 1} \over {x\left( {x - 1} \right)}} = 0\) biểu thức có giá trị bằng 0 khi \(2{x^2} + 1 = 0\) và \(x\left( {x - 1} \right) \ne 0\)

Ta có: \(2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 1 \ne 0\) với mọi x

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\) có giá trị bằng 0

c. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 5

\( \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)x} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {{x\left( {x + 5} \right)} \over {x - 5}} = 0\)

Biểu thức có giá trị bằng 0 khi x (x + 5) = 0 và x – 5 ≠ 0

\(x\left( {x + 5} \right) = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x + 5 = 0 \Rightarrow x =  - 5\)

x = 0 không thỏa mãn điều kiện,

x = - 5 thỏa mãn điều kiện

Vậy x = -5 thì biểu thức \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\) có giá trị bằng 0

d. \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\)  điều kiện x ≠ 5 và x ≠ -5

\( \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 5} \right)} \over {{x^2} + 10x + 25}} = 0 \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right){{\left( {x - 5} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 0\)

\( \Rightarrow {{{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \over {x + 5}} = 0\). Biểu thức bằng 0 khi \({\left( {x - 5} \right)^2} = 0\) và \(x + 5 \ne 0\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)

\(x = 5\) không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \({{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\) có giá trị bằng 0.

Câu 64 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :

a. \({{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)

b. \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)

c. \({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)

d. \(\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\)

Giải:

a.  \({{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)

Ta có: \(x - {1 \over x}\) xác định khi x ≠ 0

\({{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}\) xác định khi x ≠ 0

\(\eqalign{  & {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x} \ne 0 \Rightarrow {{{x^2} - 1} \over x} \ne 0 \Rightarrow {x^2} - 1 \ne 0  \cr  &  \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1;x \ne 1 \cr} \)

Vậy với x ≠ 0, x ≠ 1 và x ≠ -1 thì biểu thức xác định.

\({{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)\( = {{{{{x^2} - 1} \over x}} \over {{{{x^2} - 1} \over x}}} = {{{x^2} - 1} \over x}.{x \over {{x^2} - 1}} = 1\)

b.  \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)

Ta có: \({x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}\) xác định khi x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ \(x \ne  \pm 1\)

\({{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}\) xác định khi x – 1 ≠ 0 và \({x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne  \pm 1\)

\({{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}} \ne 0 \Rightarrow {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0\)

\( \Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0 \Rightarrow {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \ne 0\) mọi x

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ -1

\({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)\( = {{{{x\left( {x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \over {{{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}} = {{{x^2} + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {{x^2} + 1} \right)}} = {1 \over 2}\)

c. \({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)

Biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0, \({x^2} - 2x + 1 \ne 0\)và \({x^2} - 1 \ne 0\)

\(\eqalign{  & x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1  \cr  & {x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 1  \cr  & {x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1;x \ne 1 \cr} \)

Vậy biểu thức xác định với x ≠ -1 và x ≠ 1

Ta có: \({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)

\(\eqalign{  &  = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]  \cr  &  = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}  \cr  &  = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + x - x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}}  \cr  &  = {{ - \left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} =  - 1 \cr} \)

d. \(\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\)

Biểu thức xác định khi

\(\eqalign{  & {x^2} - 36 \ne 0,{x^2} + 6x \ne 0,6 - x \ne 0,2x - 6 \ne 0  \cr  & {x^2} - 36 \ne 0 \Rightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 6;x \ne  - 6  \cr  & {x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0;x \ne  - 6  \cr  & 6 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6  \cr  & 2x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \cr} \)

Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ -6 thì biểu thức xác định.

Ta có : \(\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\)

\(\eqalign{  &  = \left[ {{x \over {\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} - {{x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}}} \right]:{{2x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}} + {x \over {6 - x}}  \cr  &  = {{{x^2} - {{\left( {x - 6} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}} = {{{x^2} - {x^2} + 12x - 36} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}}  \cr  &  = {{12\left( {x - 3} \right)} \over {x - 6}}.{1 \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}} = {6 \over {x - 6}} - {x \over {x - 6}} = {{ - \left( {x - 6} \right)} \over {x - 6}} =  - 1 \cr} \)

Giaibaitap.me