Câu 9 trang 105 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {{2{n^2} - 3} \over n}\)

b. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\sin ^2}{{n\pi } \over 4} + \cos {{2n\pi } \over 3}\)

c. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)

Giải

a. Ta có

\(\eqalign{
& {u_1} = {{{{2.1}^2} - 3} \over 1} = - 1 \cr
& {u_2} = {{{{2.2}^2} - 3} \over 2} = {5 \over 2} \cr
& {u_3} = {{{{2.3}^2} - 3} \over 3} = 5 \cr
& {u_4} = {{{{2.4}^2} - 3} \over 4} = {{29} \over 4} \cr
& {u_5} = {{{{2.5}^2} - 3} \over 5} = {{47} \over 5} \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& {u_1} = {\sin ^2}{\pi \over 4} + \cos {{2\pi } \over 3} = {1 \over 2} - {1 \over 2} = 0 \cr
& {u_2} = {\sin ^2}{\pi \over 2} + \cos {{4\pi } \over 3} = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2} \cr
& {u_3} = {\sin ^2}{{3\pi } \over 4} + \cos 2\pi = {1 \over 2} + 1 = {3 \over 2} \cr
& {u_4} = {\sin ^2}\pi + \cos {{8\pi } \over 3} = \cos \left( {2\pi + {{2\pi } \over 3}} \right) = - {1 \over 2} \cr
& {u_5} = {\sin ^2}{{5\pi } \over 4} + \cos {{10\pi } \over 3} = {1 \over 2} - {1 \over 2} = 0 \cr} \)

c.

\(\eqalign{
& {u_1} = - 2 \cr
& {u_2} = 4 \cr
& {u_3} = - 8 \cr
& {u_4} = 16 \cr
& {u_5} = - 32 \cr} \)

Câu 10 trang 105 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 0\,\text{ và }\,{u_n} = {2 \over {u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi \(n ≥ 2\) ;

b. Dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 1,{u_2} = - 2\,\text{ và }\,u_n={u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi \(n ≥ 3\).

Giải

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {2 \over {u_1^2 + 1}} = 2 \cr
& {u_3} = {2 \over {u_2^2 + 1}} = {2 \over {{2^2} + 1}} = {2 \over 5} \cr
& {u_4} = {2 \over {u_3^2 + 1}} = {2 \over {{4 \over {25}} + 1}} = {{50} \over {29}} \cr
& {u_5} = {2 \over {u_4^2 + 1}} = {2 \over {{{\left( {{{50} \over {29}}} \right)}^2} + 1}} = {{1682} \over {3341}} \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_3} = {u_2} - 2{u_1} = - 2 - 2.1 = - 4 \cr
& {u_4} = {u_3} - 2{u_2} = - 4 - 2\left( { - 2} \right) = 0 \cr
& {u_5} = {u_4} - 2{u_3} = 0-2.(-4)=8 \cr} \)

Câu 11 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …, A_nB_nC_nD_n, … theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm A_n, B_n , C_n, và D_n tương ứng trên các cạnh A_n-1B_n-1, B_n-1C_n-1, C_n-1D_n-1và D_n-1A_n-1 sao cho A_n-1A_n = 1cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông A_nB_nC_nD_n.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Giải:

Với mỗi \(n \in \mathbb N^*\), xét các hình vuông \({A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\) và \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}{D_{n + 1}},\) ta có

\(\eqalign{& {u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} +{{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} - 1} \right)}^2} + {1^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{u_n} - 1} \right)}^2} + 1} \cr} \)

Câu 12 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3\) với mọi \(n ≥ 2\).

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\) ta có \({u_n} = {2^{n + 1}}-3\)   (1)

Giải

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = 1 = {2^2}-3\).

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\) tức là ta có :  \({u_k} = {2^{k + 1}} - 3\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

\({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left( {{2^{k + 1}} - 3} \right) + 3 = {2^{k + 2}} - 3\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\) ;

b. Dãy số (x_n) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

c. Dãy số (a_n) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Hướng dẫn :

a. Xét hiệu u_n+1 – u_n.

b. Xét tỉ số  \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\)

c. Viết lại công thức xác định a_n dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)

Tiếp theo, xét tỉ số  \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7 - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr
& = 3{n^2} - 3n + 3 > 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} = {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^* \cr
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.

Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) với

\({u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\)

Là một dãy số giảm và bị chặn.

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} = {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {5 \over 3}\left( {{1 \over {3n + 5}} - {1 \over {3n + 2}}} \right) < 0 \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n} \cr} \)

\(⇒ (u_n)\) là dãy số giảm

Ta lại có  \(0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)

Vậy \((u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.

Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

Giải

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

b. Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 = 5k - 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) - 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

Giải

a. Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\)

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

b. Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\)  (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp, ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + \left( {k - 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + k{.2^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).

Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Giải

Ta chứng minh \(u_n= 1\)  (1) \(∀ n \in \mathbb N^*\) bằng qui nạp

+) Rõ ràng (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có \(u_k = 1\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\)

Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (s_n) với  \({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6}.\)

a. Chứng minh rằng \({s_n} = {s_{n + 3}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

b. Hãy tính tổng \(15\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Giải:

a. Với \(n>1\) tùy ý, ta có :

\(\eqalign{
& {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr
& = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr} \)

b. Từ kết quả phần a ta có :

\(\eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr} \)

Từ đó suy ra :

\({s_1} + {s_2} + {s_3} = {s_4} + {s_5}{ + _6} = {s_7} + {s_8} + {s_9} = {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} = {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\)

Do đó :  \({S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}} = 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)\)

Bằng cách tính trực tiếp, ta có  \({s_1} = 1,{s_2} = - {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = - {1 \over 2} \Rightarrow {s_{15}} = 0\)

Giaibaitap.me