Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Chứng minh rằng

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = {{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)} \over {12}}\)    (1)

Với mọi số nguyên \(n ≥ 2\)

Giải:

+) Với \(n = 2\) ta có :

\({1.2^2} = {{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)} \over {12}} = 4\)

Vậy (1) đúng với \(n = 2\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right){k^2} = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

\(\eqalign{
& {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k.{\left( {k + 1} \right)^2} \cr
& = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]} \over {12}} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)} \over {12}} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left[ { {3k\left( {k + 2} \right)} + 5\left( {k + 2} \right)} \right]} \over {12}} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)\left( {3k + 5} \right)} \over {12}} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]} \over {12}} \cr} \)

Điều đó chứng tỏ (1) đúng với \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)

Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)

Chứng minh rằng

\({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Giải:

+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\) . Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là:

\(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có:

\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} = {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)

Nghĩa là (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)

Câu 46 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với  \({u_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}}\text{ và }{v_n} = {{2n} \over {n + 1}}\)

a. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n) với a_n = u_n + v_n

b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (b_n) với b_n = u_n – v_n

c. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (c_n) với c_n = u_n.v_n

d. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (d_n) với  \({d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}}\)

Chú ý

Các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (u_n + v_n), (u_n – v_n), (u_n.v_n),\(\left( {{{{u_n}} \over {{v_n}}}} \right)\).

Giải:

a. Ta có:

\({a_n} = {u_n} + {v_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}} + {{2n} \over {n + 1}} = {{{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {n + 1}} = n + 1\)

b. Ta có:

\({b_n} = {u_n} - {v_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}} - {{2n} \over {n + 1}} = {{{{\left( {n - 1} \right)}^2}} \over {n + 1}}\)

c. Ta có:

\({c_n} = {u_n}{v_n} = {{2n\left( {{n^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

d. Ta có:

\({d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}} = {{{n^2} + 1} \over {2n}}\)

Câu 47 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

a. Dãy số (u_n) với u_n = 8n + 3

b. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {n^2} + n + 1\)

c.  Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {3.8^n}\)

d. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = \left( {n + 2} \right){.3^n}\)

Giải:

a. Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = 8\left( {n + 1} \right) + 3 - \left( {8n + 3} \right) = 8,\forall n \ge 1\)

Suy ra (u_n) là cấp số cộng với công sai \(d = 8\)

b. Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + \left( {n + 1} \right) + 1 - {n^2} - n - 1 = 2\left( {n + 1} \right)\) không là hằng số

Vậy (u­_n) không là cấp số cộng.

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{n^2} + 3n + 3} \over {{n^2} + n + 1}}\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số nhân.

c.\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{{3.8}^{n + 1}}} \over {{{3.8}^n}}} = 8,\forall n \ge 1.\) Do đó (u_n) là cấp số nhân với công bội \(q = 8\).

d.\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 3} \right){.3^{n + 1}} - \left( {n + 2} \right){3^n} = {3^n}\left( {3n + 9 - n - 2} \right) = \left( {2n + 7} \right){3^n}\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số cộng.

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{\left( {n + 3} \right){{.3}^{n + 1}}} \over {\left( {n + 2} \right){{.3}^n}}} = {{3n + 9} \over {n + 2}}\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số nhân.

Câu 48 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\text{ và }{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi n ≥ 1

là một cấp số cộng.

b. Dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\text{ và }{u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi n ≥ 1,

là một cấp số cộng.

c. Dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 4\text{ và }{u_{n + 1}} = 5{u_n}\) với mọi n ≥ 1,

là một cấp số nhân.

d. Dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\text{ và } {u_{n + 1}} = n{u_n}\) với mọi n ≥ 1

là một cấp số nhân.

Giải:

a. Đúng vì  \({u_{n + 1}} - {u_n} = 5,\forall n \ge 1\)

b. Sai vì \({u_{n + 1}} - {u_n} = n\) không là hằng số

c. Đúng vì \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = 5\) là hằng số

d. Sai vì \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = n\) không là hằng số.

Câu 49 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy hình vuông H₁, H₂, …, H_n,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n, p_n và S_n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông H_n.

a. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

b. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Giải:

Theo giả thiết ta có :

\({p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2\) với mọi \(n \in N^*\)

a. Gọi d là công sai của cấp số cộng (u_n) , d ≠ 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :

\({p_{n + 1}} - {p_n} = 4\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 4d\) (không đổi)

Vậy (p_n) là cấp số cộng.

\({S_{n + 1}} - {S_n} = \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) = d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)\) không là hằng số (do d ≠ 0)

Vậy (S_n) không là cấp số cộng.

b. Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n), q > 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :

\({{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q\) (không đổi)

\({{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}} = {q^2}\) (không đổi)

Từ đó suy ra các dãy số (p_n) và (S_n) là cấp số nhân.

Câu 50 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Giải:

Ta chứng minh \({u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)\) với mọi n bằng qui nạp

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {\rm{ }}3\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với \(n=k\) tức là: \({u_k} = {\rm{ }}3\) 

+) Ta chứng minh \({u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3\)

Thật vậy ta có  \({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\)

Vậy \({u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1\) do đó (u_n) vừa là cấp số cộng công sai \(d = 0\) vừa là cấp số nhân công bội \(q = 1\).

Câu 51 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết :

- Ở Cơ sở A : Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở Cơ sở B : Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u_n và v_n tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.

a. Hãy tính u₂, u₃, v₂, v₃.

b. Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng và dãy số (v_n) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c. Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau ?

d. Cũng câu hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.

Giải:

a.

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 500 = 8000 + 500 = 8500 \cr
& {u_3} = {u_2} + 500 = 8500 + 500 = 9000 \cr
& {v_2} = {v_1} + {v_1}.0,07 = {v_1}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_1}.1,07 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6000.1,07 = 6420 \cr
& {v_3} = {v_2} + {v_2}.0,07 = {v_2}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_2}.1,07 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6420.1,07 = 6869,4 \cr} \)

b. Theo giả thiết của bài toán, ta có :

\({u_1} = 8000\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 500\) với mọi \(n ≥ 1\) (1)

\(\eqalign{
& {v_1} = 6000\,\text{ và }\,{v_{n + 1}} = {v_n} + {v_n}.0,07 \cr
& = {v_n}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_n}.1,07 \text{ với mọi } n ≥ 1 \;(2)\cr}\)

Từ (1) suy ra (u_n) là một cấp số cộng với công sai \(d = 500\) và số hạng đầu u₁ = 8000.

Số hạng tổng quát : \(u_n= 8000 + (n – 1).500 = 7500 + 500n\)

Từ (2) suy ra (v_n) là một cấp số nhân với công bội \(q = 1,07\) và số hạng đầu v₁ = 6000.

Số hạng tổng quát : \({v_n} = {\rm{ }}6000{\rm{ }}.{\rm{ }}{\left( {1,07} \right)^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)

c. Kí hiệu A₂₀ và B₂₀ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở B. Từ kết quả phần b, ta có :

A₂₀ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng u_n. Do đó :

\({A_{20}} = {{20.\left( {2{u_1} + 19d} \right)} \over 2} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} \right) = 255000\)

B₂₀ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (v_n). Do đó :

\({B_{20}} = v_1{{1 - {q^{20}}} \over {1 - q}} = 6000.{{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{20}}} \over {1 - 1,07}} = 245972,9539\)

Từ đó, nếu cần khoan giếng sâu 20m thì nên thuê cơ sở B.

d. Kí hiệu A₂₅ và B₂₅ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và theo cách tính giá của cơ sở B.

\({A_{25}} = {{25.\left( {2{u_1} + 24d} \right)} \over 2} = 12,5.\left( {2.8000 + 24.500} \right) = 350000\)

\({B_{25}} = v_1{{1 - {q^{25}}} \over {1 - q}} = 6000.{{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{25}}} \over {1 - 1,07}} = 379494,2263\)

Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25m thì nên thuê cơ sở A.

Giaibaitap.me